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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €5 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 4 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 7 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €5 000g = 4%r = 7%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €20 000 est remboursé par mensualités égales sur 4 ans. Le taux d'intérêt est de 2,4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €20 0002,4% / 12N = 48
A = €
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 5 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 8%n = 5
P = €
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 6% arrive à échéance dans 9 ans et se vend €1 150. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%n = 9P = €1 150
YTM = %
5.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €12 000 000, des actions privilégiées valant €1 000 000 et une dette valant €6 000 000. Le coût des capitaux propres est de 11%, le coût des actions privilégiées de 8% et le coût de la dette avant impôt de 6%. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 4 000 000 actions à €20,50 chacune et 5 000 obligations cotées €960 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3,5% et le taux d’imposition de 25,8%. Le bêta de l’action est de 0,8, le taux sans risque de 2,5% et la rentabilité du marché de 9,5%. Trouvez le WACC.
β = 0,8rf = 2,5%rm = 9,5%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
7.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €30 000 aujourd’hui et rapporte €7 500, €10 000, €10 000, €9 500, €7 500, €13 500 à la fin des années 1 à 6. Le coût du capital est de 6 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Un projet coûte €80 000 aujourd’hui. Son flux vaut €10 500 à la fin de l’année 1 et croît de 4 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 7. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €80 000CF1 = €10 500g = 4%n = 7r = 12%
NPV = €
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 166667 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·4 = 48
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,9086
A = 20 000·0,002/(1 − 0,9086) = €437,40
Réponse
A = €437,40
3.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 878,3 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €25,00, i = 0,04, N = 10
Valeur actuelle des coupons
€25,00·(1 − 0,6756)/0,04 = €202,77
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,6756 = €675,56
Prix
P = €878,34
Réponse
P = €878,34
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
4.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 3,984 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 150 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Résoudre numériquement
P(3%) = €1 233,58, P(4%) = €1 148,71
YTM = 3,984%
Réponse
YTM = 3,984%
5.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,695 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 7 500/1,06 = 7 075,47 → Σ = 7 075,47
année 2: 10 000/1,124 = 8 899,96 → Σ = 15 975,44
année 3: 10 000/1,191 = 8 396,19 → Σ = 24 371,63
année 4: 9 500/1,262 = 7 524,89 → Σ = 31 896,52
Fraction de la dernière année
DPB = 3 + 5 628,37/7 524,89 = 3,748
Réponse
DPB = 3,748 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,263 ans).
8.VAN et TRI
Réponse: NPV = −26878 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.