Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €5 000 dans 6 ans. Un compte rapporte 4 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €5 0004% / 4n = 6

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €12 000 est remboursé par mensualités égales sur 5 ans. Le taux d'intérêt est de 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.

P = €12 0003,6% / 12N = 60

A = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 11 ans. Le taux de rendement actuariel est de 5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 5%n = 11

P = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation cote €1 075 avec un taux de rendement actuariel de 5% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 6,7 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement augmente de 75 points de base.

P₀ = €1 075y = 5%D = 6,7Δy = +75 bp

P = €

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €8 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 7% et le taux d’imposition de 25,8%. Trouvez le WACC.

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 7%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1,4 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,5. Elle prévoit de porter ce ratio à 1,25. Le taux d’imposition est de 20%, le taux sans risque de 1,5% et la prime de risque du marché de 7%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e après ce changement.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1,25T = 20%r_f = 1,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €40 000 aujourd’hui, dure 9 ans et coûte €3 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 12 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.

C₀ = €40 000M = €3 000n = 9r = 12%

EAC = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €20 000 et rapporte €9 500, €12 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −20 000CF₁ = 9 500CF₂ = 12 500

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 3938 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·6 = 24

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,27 = €3 937,83

Réponse

PV = €3 937,83

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 218,8 €

Taux mensuel et nombre de mensualités

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·5 = 60

Mensualité

La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.

(1 + i)^−N = 0,8355

A = 12 000·0,003/(1 − 0,8355) = €218,84

Réponse

A = €218,84

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 958,1 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €22,50, i = 0,025, N = 22

Valeur actuelle des coupons

€22,50·(1 − 0,5809)/0,025 = €377,22

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,5809 = €580,86

Prix

P = €958,09

Réponse

P = €958,09

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1024 €

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modifiée

D_mod = 6,7/1,05 = 6,381

Variation de prix estimée

%ΔP ≈ −6,381·(0,0075) = −4,786%

P ≈ 1075·(1 − 0,04786) = €1 023,55

Réponse

P = €1 023,55

La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 10,35 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111

WACC

WACC = 0,8889·11% + 0,1111·7%·(1 − 0,258) = 10,35%

Réponse

WACC = 10,35%

6.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 15,5 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Désendetter le bêta

β_U = 1,4/(1 + 0,8·0,5) = 1

Réendetter au nouveau D/E

β_L = 1·(1 + 0,8·1,25) = 2

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 1,5% + 2·7% = 15,5%

Réponse

r_e = 15,5%

7.VAN et TRI

Réponse: EAC = 10507 €

Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.

Facteur d’annuité

(1 − 1,12⁻⁹)/0,12 = 5,328

Prix d’achat annualisé

40 000/5,328 = 7 507,16

EAC

EAC = 7 507,16 + 3 000 = €10 507,16

Réponse

EAC = €10 507,16

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 6,297 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(5%) = 385,49

NPV(10%) = −1 033,06

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 5 + 5·385,49/(385,49 − (−1 033,06)) = 6,359%

exact: NPV(6,297%) = 0 → IRR = 6,297%

Réponse

IRR = 6,297%

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