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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Une annuité verse €500 à la fin de chaque année pendant 9 ans. Le taux d’intérêt est de 8 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.
A = €500i = 8%n = 9
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €15 000 est remboursé par mensualités constantes sur 3 ans à 3 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €15 0003% / 12N = 36
I = €
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 7 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) quand son taux de rendement actuariel est de 5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 6%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%n = 7y0 = 5%y1 = 6%
HPR = %
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation cote €1 040 avec un taux de rendement actuariel de 4% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 10,6 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement baisse de 75 points de base.
P0 = €1 040y = 4%D = 10,6Δy = −75 bp
P = €
5.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 2 a un rendement exigé de 12,5%. Le taux sans risque est de 3,5%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 2re = 12,5%rf = 3,5%
rm = %
6.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 4 000 000 actions à €35,00 chacune et 40 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 21%. Le bêta de l’action est de 1,2, le taux sans risque de 3,5% et la rentabilité du marché de 8,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,2rf = 3,5%rm = 8,5%rd = 7%T = 21%
WACC = %
7.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €40 000 aujourd’hui, dure 7 ans et coûte €1 500 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 8 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €40 000M = €1 500n = 7r = 8%
EAC = €
8.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €12 000, €16 500, €15 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 12 000CF2 = 16 500CF3 = 15 000
IRR = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 3123 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5002)/0,08 = 6,247
Valeur actuelle
PV = 500·6,247 = €3 123,44
Réponse
PV = €3 123,44
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: I = 703,9 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,0025, N = 36
A = 15 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−36) = €436,22
Total des intérêts
I = N·A − P = 36·436,2 − 15 000 = €703,85
Réponse
I = €703,85
3.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = 0,2019 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modifiée
Dmod = 10,6/1,04 = 10,19
Variation de prix estimée
%ΔP ≈ −10,19·(−0,0075) = 7,644%
P ≈ 1040·(1 + 0,07644) = €1 119,50
Réponse
P = €1 119,50
La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.
5.CAPM et WACC
Réponse: rm = 8 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (12,5% − 3,5%)/2 = 4,5%
Rendement du marché
rm = 3,5% + 4,5% = 8%
Réponse
rm = 8%
6.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,584 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,08−7)/0,08 = 5,206
Prix d’achat annualisé
40 000/5,206 = 7 682,90
EAC
EAC = 7 682,90 + 1 500 = €9 182,90
Réponse
EAC = €9 182,90
8.VAN et TRI
Réponse: IRR = 32,23 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(30%) = 821,57
NPV(35%) = −960,98
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.