Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 17,5 % par an, capitalisé quotidienne. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.

r = 17,5%m = 365

EAR = %

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Tu épargnes €300 à la fin de chaque mois pendant 22 ans. Le compte rapporte 3 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.

A = €3003% / 12N = 264

FV = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 12 ans. Le taux de rendement actuariel est de 5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 5%n = 12

P = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation à 15 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 9%) se vend €1 086. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 4 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 090. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.

F = €1 000coupon = 9%P = €1 086prix de remboursement anticipé = €1 090remboursement anticipé dans 4 ans

YTC = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 0,25. Son coût des capitaux propres est de 10%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.

D/E = 0,25r_e = 10%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 4 000 000 actions à €20,50 chacune et 40 000 obligations cotées €960 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 5% et le taux d’imposition de 28%. Le bêta de l’action est de 0,9, le taux sans risque de 4% et la rentabilité du marché de 9%. Trouvez le WACC.

β = 0,9r_f = 4%r_m = 9%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Un investissement de €75 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €24 000, €34 000, €32 000, €24 000. Le coût du capital est de 8 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 24 000CF₂ = 34 000CF₃ = 32 000CF₄ = 24 000

NPV = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €20 000 et rapporte €13 500, €8 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 8 500

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: EAR = 19,12 %

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux par période

r/m = 0,175/365 = 0,0004795

Capitaliser sur un an

EAR = (1 + 0,0004795)³⁶⁵ − 1 = 1,191 − 1 = 19,12%

Réponse

EAR = 19,12%

Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 111984 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·22 = 264

Valeur future des versements

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,933 − 1)/0,0025 = €111 983,93

Réponse

FV = €111 983,93

Tu as versé toi-même €79 200 ; le reste, ce sont des intérêts.

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 910,6 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €20,00, i = 0,025, N = 24

Valeur actuelle des coupons

€20,00·(1 − 0,5529)/0,025 = €357,70

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,5529 = €552,88

Prix

P = €910,58

Réponse

P = €910,58

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTC = 8,369 %

Équation du rendement

1086 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1090/(1 + y)⁴

Résoudre numériquement

y = 8%: €1 099,27

y = 9%: €1 063,76

YTC = 8,369%

Réponse

YTC = 8,369%

Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 7,996%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,9 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Poids à partir de D/E

E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8

D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2

WACC

WACC = 0,8·10% + 0,2·6%·(1 − 0,25) = 8,9%

Réponse

WACC = 8,9%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 6,937 %

Valeurs de marché

E = 4 000 000·€20,50 = €82 000 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 4% + 0,9·5% = 8,5%

Pondérations

V = €120 400 000, E/V = 0,6811, D/V = 0,3189

WACC

WACC = 0,6811·8,5% + 0,3189·5%·(1 − 0,28) = 6,937%

Réponse

WACC = 6,937%

7.VAN et TRI

Réponse: NPV = 19415 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de chaque flux

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 24 000/1,08 = 22 222,22

CF₂/(1 + 0,08)² = 34 000/1,166 = 29 149,52

CF₃/(1 + 0,08)³ = 32 000/1,26 = 25 402,63

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 24 000/1,36 = 17 640,72

Additionner

NPV = €19 415,09

Réponse

NPV = €19 415,09

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 7,16 %

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(5%) = 566,89

NPV(10%) = −702,48

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 5 + 5·566,89/(566,89 − (−702,48)) = 7,233%

exact: NPV(7,16%) = 0 → IRR = 7,16%

Réponse

IRR = 7,16%

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