Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu places €2 000 à un taux nominal de 3,6 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 2 ans.

PV = €2 0003,6% / 4n = 2

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Tu épargnes €50 à la fin de chaque mois pendant 25 ans. Le compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.

A = €503,6% / 12N = 300

FV = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Vous achetez une obligation à 12 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 4,5%) quand son taux de rendement actuariel est de 5,5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.

F = €1 000coupon = 4,5%n = 12y₀ = 5,5%y₁ = 5%

HPR = %

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 11 ans. Elle se vend €832. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.

F = €1 000coupon = 3% (2×)n = 11P = €832

YTM = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 1,5. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.

D/E = 1,5r_e = 14%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 2 500 000 actions à €48,50 chacune et 10 000 obligations cotées €960 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 2,5% et la rentabilité du marché de 7,5%. Trouvez le WACC.

β = 1,1r_f = 2,5%r_m = 7,5%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €200 000 aujourd’hui. Il génère €16 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 3 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €16 000g = 3%r = 12%

NPV = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €25 000 et rapporte €17 500, €9 000 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 500CF₂ = 9 000

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 2149 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·2 = 8

Valeur future

FV = 2 000·(1 + 0,009)⁸ = 2 000·1,074 = €2 148,62

Réponse

FV = €2 148,62

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 24272 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·25 = 300

Valeur future des versements

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2,456 − 1)/0,003 = €24 271,53

Réponse

FV = €24 271,53

Tu as versé toi-même €15 000 ; le reste, ce sont des intérêts.

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: HPR = 9,811 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Prix d’achat

C = €45,00, i = 0,055, N = 12

€45,00·(1 − 0,526)/0,055 + €1 000·0,526 = €387,83 + €525,98 = €913,81

Prix de vente

C = €45,00, i = 0,05, N = 11

€45,00·(1 − 0,5847)/0,05 + €1 000·0,5847 = €373,79 + €584,68 = €958,47

Rendement sur la période de détention

HPR = (45 + 958,47 − 913,81)/913,81 = 9,811%

Réponse

HPR = 9,811%

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 5,005 %

Par période

C = €15,00, N = 22

Résoudre numériquement

i = 2,502% par semestre

YTM

YTM = 2·2,502% = 5,005%

Réponse

YTM = 5,005%

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,3 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Poids à partir de D/E

E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4

D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6

WACC

WACC = 0,4·14% + 0,6·6%·(1 − 0,25) = 8,3%

Réponse

WACC = 8,3%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 7,567 %

Valeurs de marché

E = 2 500 000·€48,50 = €121 250 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,1·5% = 8%

Pondérations

V = €130 850 000, E/V = 0,9266, D/V = 0,07337

WACC

WACC = 0,9266·8% + 0,07337·3%·(1 − 0,3) = 7,567%

Réponse

WACC = 7,567%

7.VAN et TRI

Réponse: NPV = −22222 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur des flux

PV = 16 000/(0,12 − 0,03) = 177 777,78

NPV

NPV = 177 777,78 − 200 000 = −€22 222,22

Réponse

NPV = −€22 222,22

La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 4,462 %

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(0%) = 1 500,00

NPV(5%) = −170,07

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 0 + 5·1 500,00/(1 500,00 − (−170,07)) = 4,491%

exact: NPV(4,462%) = 0 → IRR = 4,462%

Réponse

IRR = 4,462%

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