Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une annuité verse €8 000 à la fin de chaque année pendant 14 ans. Le taux d’intérêt est de 3 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.

A = €8 000i = 3%n = 14

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous versez €6 000 au début de chaque année pendant 20 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 7 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 20 ? Trouvez FV.

A = €6 000i = 7%n = 20

FV = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 6% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 2%YTM = 6%n = 3

P = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3%. Trouvez la duration de Macaulay D en années.

F = €1 000coupon = 6%n = 3YTM = 3%

D = ans

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €5 000 000 et une dette de €3 000 000. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 25,8%. Trouvez le WACC.

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €8 000 000 et un coût des capitaux propres de 9%. Sa dette se compose de 2 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 7%, 7 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €1 056 chacune. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.

E = €8 000 000r_e = 9%obligations: 2 000 × €1 056coupon = 7%n = 7T = 20%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €80 000 aujourd’hui, dure 9 ans et coûte €4 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 10 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.

C₀ = €80 000M = €4 000n = 9r = 10%

EAC = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €25 000 et rapporte €18 000, €14 500, €12 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 000CF₂ = 14 500CF₃ = 12 000

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 90369 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Facteur d’annuité

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6611)/0,03 = 11,3

Valeur actuelle

PV = 8 000·11,3 = €90 368,59

Réponse

PV = €90 368,59

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 263191 €

Facteur d’annuité ordinaire

((1 + 0,07)²⁰ − 1)/0,07 = 41

Annuité de début de période

Chaque versement est placé un an de plus.

FV = 6 000·41·1,07 = €263 191,06

Réponse

FV = €263 191,06

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 891,7 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €10,00, i = 0,03, N = 6

Valeur actuelle des coupons

€10,00·(1 − 0,8375)/0,03 = €54,17

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,8375 = €837,48

Prix

P = €891,66

Réponse

P = €891,66

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: D = 2,84 ans

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valeur actuelle de chaque flux

t = 1: 60/1,03 = 58,25, t·PV = 58,25

t = 2: 60/1,061 = 56,56, t·PV = 113,11

t = 3: 1060/1,093 = 970,05, t·PV = 2 910,15

Duration

P = 1 084,86

D = 3 081,51/1 084,86 = 2,84

Réponse

D = 2,84 ans

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,544 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·11% + 0,375·6%·(1 − 0,258) = 8,544%

Réponse

WACC = 8,544%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,122 %

Coût de la dette (YTM)

1056 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + 1000/(1 + y)⁷

y = 5,997%

Valeurs de marché

D = 2 000·€1 056 = €2 112 000

V = €10 112 000, E/V = 0,7911, D/V = 0,2089

WACC

WACC = 0,7911·9% + 0,2089·5,997%·(1 − 0,2) = 8,122%

Réponse

WACC = 8,122%

7.VAN et TRI

Réponse: EAC = 17891 €

Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.

Facteur d’annuité

(1 − 1,1⁻⁹)/0,1 = 5,759

Prix d’achat annualisé

80 000/5,759 = 13 891,24

EAC

EAC = 13 891,24 + 4 000 = €17 891,24

Réponse

EAC = €17 891,24

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 38,74 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(35%) = 1 166,74

NPV(40%) = −371,72

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 35 + 5·1 166,74/(1 166,74 − (−371,72)) = 38,79%

exact: NPV(38,74%) = 0 → IRR = 38,74%

Réponse

IRR = 38,74%

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