Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercices Retour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 21 % par an, capitalisé semestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.

r = 21%m = 2

EAR = %

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous voulez disposer de €20 000 dans 11 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 3,6 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.

FV = €20 0003,6% / 12N = 132

A = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 5 ans. Le taux de rendement actuariel est de 9% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 5%YTM = 9%n = 5

P = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 7 ans et se vend €910. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 3%n = 7P = €910

YTM = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une action de bêta 1,25 a un rendement exigé de 9,13%. Le taux sans risque est de 1%. Quel rendement attendu du marché r_m le CAPM implique-t-il ?

β = 1,25r_e = 9,13%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 1 000 000 actions cotant €22,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €9 000 000. Elle vient de verser un dividende de €2,50 par action, et les dividendes croissent de 5% par an. Sa dette a une valeur de marché de €22 500 000 et un coût avant impôt de 6%. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.

N = 1 000 000P₀ = €22,50capitaux propres comptables = €9 000 000D₀ = €2,50g = 5%D = €22 500 000r_d = 6%T = 20%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €60 000 aujourd’hui. Elle génère €12 000 à la fin de chaque année pendant 7 ans et peut ensuite être revendue €6 000. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €60 000CF = €12 000S = €6 000n = 7r = 10%

NPV = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €50 000 et rapporte €36 000, €34 000 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 000CF₂ = 34 000

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: EAR = 22,1 %

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux par période

r/m = 0,21/2 = 0,105

Capitaliser sur un an

EAR = (1 + 0,105)² − 1 = 1,221 − 1 = 22,1%

Réponse

EAR = 22,1%

Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 123,7 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·11 = 132

Versement

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0,003/(1,485 − 1) = €123,71

Réponse

A = €123,71

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 841,7 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €25,00, i = 0,045, N = 10

Valeur actuelle des coupons

€25,00·(1 − 0,6439)/0,045 = €197,82

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,6439 = €643,93

Prix

P = €841,75

Réponse

P = €841,75

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 4,529 %

Équation du rendement

€910 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Résoudre numériquement

P(4%) = €939,98, P(5%) = €884,27

YTM = 4,529%

Réponse

YTM = 4,529%

5.CAPM et WACC

Réponse: r_m = 7,504 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Prime de risque du marché

r_m − r_f = (9,13% − 1%)/1,25 = 6,504%

Rendement du marché

r_m = 1% + 6,504% = 7,504%

Réponse

r_m = 7,504%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 10,73 %

Coût des capitaux propres

D₁ = 2,5·1,05 = €2,63

r_e = 2,625/22,5 + 0,05 = 16,67%

Valeurs de marché

E = 1 000 000·€22,50 = €22 500 000

V = €45 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·16,67% + 0,5·6%·(1 − 0,2) = 10,73%

Réponse

WACC = 10,73%

7.VAN et TRI

Réponse: NPV = 1500 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle des flux annuels

12 000·4,868 = 58 421,03

Valeur actuelle de la valeur résiduelle

6 000/1,949 = 3 078,95

NPV

NPV = −60 000 + 58 421,03 + 3 078,95 = €1 499,97

Réponse

NPV = €1 499,97

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 25,98 %

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(25%) = 560,00

NPV(30%) = −2 189,35

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 25 + 5·560,00/(560,00 − (−2 189,35)) = 26,02%

exact: NPV(25,98%) = 0 → IRR = 25,98%

Réponse

IRR = 25,98%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation