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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 16 % par an, capitalisé trimestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 16%m = 4
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €20 000 à 7,2 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €900 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €20 000A = €9007,2% / 12
N = versements
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% et arrive à échéance dans 10 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 5,5% à 7,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 7%n = 10y1 = 5,5%y2 = 7,5%
ΔP = €
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 6 ans et se vend €925. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 6P = €925
YTM = %
5.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €8 000 000 et une dette de €3 000 000. Son coût des capitaux propres est de 8%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le WACC.
E = €8 000 000D = €3 000 000re = 8%rd = 3%T = 28%
WACC = %
6.CAPM et WACCDifficile
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,8. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1. Le taux d’imposition est de 25,8%, le taux sans risque de 3,5% et la prime de risque du marché de 4%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,8D/E = 1T = 25,8%rf = 3,5%rm − rf = 4%
re = %
7.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €250 000 aujourd’hui. Il génère €19 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 1 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €250 000CF1 = €19 000g = 1%r = 8%
NPV = €
8.VAN et TRIDifficile
Le projet A coûte €30 000 et rapporte €17 000, €12 000, €6 500 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €40 000 et rapporte €10 500, €15 500, €21 000. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,16/4 = 0,04
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,04)4 − 1 = 1,17 − 1 = 16,99%
Réponse
EAR = 16,99%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: N = 24 versements
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,006/900 = 0,8667
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,8667)/ln(1,006) = 23,92
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
23 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 24
Réponse
N = 24 versements
3.Prix et rendement des obligations
Réponse: ΔP = −147,4 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€925 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Résoudre numériquement
P(5%) = €949,24, P(6%) = €901,65
YTM = 5,501%
Réponse
YTM = 5,501%
5.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,407 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727
WACC
WACC = 0,7273·8% + 0,2727·3%·(1 − 0,28) = 6,407%
Réponse
WACC = 6,407%
6.CAPM et WACC
Réponse: re = 9,074 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,8·(1 + 0,742·1) = 1,394
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 3,5% + 1,394·4% = 9,074%
Réponse
re = 9,074%
7.VAN et TRI
Réponse: NPV = 21429 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 19 000/(0,08 − 0,01) = 271 428,57
NPV
NPV = 271 428,57 − 250 000 = €21 428,57
Réponse
NPV = €21 428,57
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
8.VAN et TRI
Réponse: r* = 3,672 %
Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.
Différence des flux
ΔCF0 = −40 000 − (−30 000) = −10 000
ΔCF1 = 10 500 − 17 000 = −6 500
ΔCF2 = 15 500 − 12 000 = 3 500
ΔCF3 = 21 000 − 6 500 = 14 500
TRI de la différence
NPVΔ(3%) = 257,96
NPVΔ(4%) = −123,61
r* = 3,672%
Réponse
r* = 3,672%
Vérification : à 3,672%, les deux VAN valent €3 396,55.