Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €25 000 dans 6 ans. Un compte rapporte 4,8 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €25 0004,8% / 12n = 6

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous voulez disposer de €25 000 dans 3 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 5,4 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.

FV = €25 0005,4% / 12N = 36

A = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Vous achetez une obligation à 9 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 4,5%) quand son taux de rendement actuariel est de 9%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 10%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.

F = €1 000coupon = 4,5%n = 9y₀ = 9%y₁ = 10%

HPR = %

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation cote €1 020 avec un taux de rendement actuariel de 4% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 5,1 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement augmente de 50 points de base.

P₀ = €1 020y = 4%D = 5,1Δy = +50 bp

P = €

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €12 000 000, des actions privilégiées valant €2 000 000 et une dette valant €4 000 000. Le coût des capitaux propres est de 12%, le coût des actions privilégiées de 8% et le coût de la dette avant impôt de 4,5%. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC.

E = €12 000 000P_s = €2 000 000D = €4 000 000r_e = 12%r_p = 8%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

Les actions d’une entreprise ont un bêta de 0,9 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,5. Elle prévoit de porter ce ratio à 0,75. Le taux d’imposition est de 20%, le taux sans risque de 2% et la prime de risque du marché de 6,5%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e après ce changement.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,5D/E₂ = 0,75T = 20%r_f = 2%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €40 000 aujourd’hui et rapporte €12 500 à la fin de chaque année pendant 5 ans. Le coût du capital est de 5 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 5%CF₀ = −40 000CF₁ = 12 500CF₂ = 12 500CF₃ = 12 500CF₄ = 12 500CF₅ = 12 500

DPB = ans

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €20 000 et rapporte €11 500, €13 000, €10 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 13 000CF₃ = 10 000

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 18755 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·6 = 72

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,333 = €18 754,81

Réponse

PV = €18 754,81

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 641,3 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·3 = 36

Versement

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,0045/(1,175 − 1) = €641,27

Réponse

A = €641,27

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: HPR = 2,926 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Prix d’achat

C = €45,00, i = 0,09, N = 9

€45,00·(1 − 0,4604)/0,09 + €1 000·0,4604 = €269,79 + €460,43 = €730,21

Prix de vente

C = €45,00, i = 0,1, N = 8

€45,00·(1 − 0,4665)/0,1 + €1 000·0,4665 = €240,07 + €466,51 = €706,58

Rendement sur la période de détention

HPR = (45 + 706,58 − 730,21)/730,21 = 2,926%

Réponse

HPR = 2,926%

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 995 €

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modifiée

D_mod = 5,1/1,04 = 4,904

Variation de prix estimée

%ΔP ≈ −4,904·(0,005) = −2,452%

P ≈ 1020·(1 − 0,02452) = €994,99

Réponse

P = €994,99

La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,589 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = 12 000 000 + 2 000 000 + 4 000 000 = €18 000 000

E/V = 0,6667, P_s/V = 0,1111, D/V = 0,2222

WACC

WACC = 0,6667·12% + 0,1111·8% + 0,2222·4,5%·(1 − 0,3) = 9,589%

Réponse

WACC = 9,589%

6.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 8,686 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Désendetter le bêta

β_U = 0,9/(1 + 0,8·0,5) = 0,6429

Réendetter au nouveau D/E

β_L = 0,6429·(1 + 0,8·0,75) = 1,029

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 2% + 1,029·6,5% = 8,686%

Réponse

r_e = 8,686%

7.VAN et TRI

Réponse: DPB = 3,579 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 12 500/1,05 = 11 904,76 → Σ = 11 904,76

année 2: 12 500/1,103 = 11 337,87 → Σ = 23 242,63

année 3: 12 500/1,158 = 10 797,97 → Σ = 34 040,60

année 4: 12 500/1,216 = 10 283,78 → Σ = 44 324,38

Fraction de la dernière année

DPB = 3 + 5 959,40/10 283,78 = 3,579

Réponse

DPB = 3,579 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,2 ans).

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 33,92 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(30%) = 1 090,12

NPV(35%) = −284,00

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 30 + 5·1 090,12/(1 090,12 − (−284,00)) = 33,97%

exact: NPV(33,92%) = 0 → IRR = 33,92%

Réponse

IRR = 33,92%

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