Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu places €12 000 à un taux nominal de 6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 6 ans.

PV = €12 0006% / 12n = 6

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous versez €5 000 au début de chaque année pendant 24 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 3 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 24 ? Trouvez FV.

A = €5 000i = 3%n = 24

FV = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 9 ans. Le taux de rendement actuariel est de 2,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 3%YTM = 2,5%n = 9

P = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation à 13 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%) se vend €1 213. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 5 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 050. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.

F = €1 000coupon = 5%P = €1 213prix de remboursement anticipé = €1 050remboursement anticipé dans 5 ans

YTC = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €4 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 7% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.

E = €6 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €10 000 000 et un coût des capitaux propres de 14%. Sa dette se compose de 5 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 7%, 6 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €1 075 chacune. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.

E = €10 000 000r_e = 14%obligations: 5 000 × €1 075coupon = 7%n = 6T = 30%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €20 000 aujourd’hui, dure 7 ans et coûte €4 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 12 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.

C₀ = €20 000M = €4 000n = 7r = 12%

EAC = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €25 000 et rapporte €18 000, €15 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 000CF₂ = 15 500

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 17185 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = r/m = 0,06/12 = 0,005

N = m·n = 12·6 = 72

Valeur future

FV = 12 000·(1 + 0,005)⁷² = 12 000·1,432 = €17 184,53

Réponse

FV = €17 184,53

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 177296 €

Facteur d’annuité ordinaire

((1 + 0,03)²⁴ − 1)/0,03 = 34,43

Annuité de début de période

Chaque versement est placé un an de plus.

FV = 5 000·34,43·1,03 = €177 296,32

Réponse

FV = €177 296,32

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1040 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €15,00, i = 0,0125, N = 18

Valeur actuelle des coupons

€15,00·(1 − 0,7996)/0,0125 = €240,44

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,7996 = €799,63

Prix

P = €1 040,07

Réponse

P = €1 040,07

Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTC = 1,515 %

Équation du rendement

1213 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1050/(1 + y)⁵

Résoudre numériquement

y = 1%: €1 241,71

y = 2%: €1 186,69

YTC = 1,515%

Réponse

YTC = 1,515%

Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 2,997%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 10,04 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·13% + 0,4·7%·(1 − 0,2) = 10,04%

Réponse

WACC = 10,04%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 10,45 %

Coût de la dette (YTM)

1075 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1000/(1 + y)⁶

y = 5,499%

Valeurs de marché

D = 5 000·€1 075 = €5 375 000

V = €15 375 000, E/V = 0,6504, D/V = 0,3496

WACC

WACC = 0,6504·14% + 0,3496·5,499%·(1 − 0,3) = 10,45%

Réponse

WACC = 10,45%

7.VAN et TRI

Réponse: EAC = 8382 €

Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.

Facteur d’annuité

(1 − 1,12⁻⁷)/0,12 = 4,564

Prix d’achat annualisé

20 000/4,564 = 4 382,35

EAC

EAC = 4 382,35 + 4 000 = €8 382,35

Réponse

EAC = €8 382,35

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 22,58 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(20%) = 763,89

NPV(25%) = −680,00

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 20 + 5·763,89/(763,89 − (−680,00)) = 22,65%

exact: NPV(22,58%) = 0 → IRR = 22,58%

Réponse

IRR = 22,58%

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