Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €50 000 dans 10 ans. Un compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €50 0003,6% / 12n = 10

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €12 000 est remboursé par mensualités égales sur 4 ans. Le taux d'intérêt est de 2,4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.

P = €12 0002,4% / 12N = 48

A = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% et arrive à échéance dans 8 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 5% à 3,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?

F = €1 000coupon = 6%n = 8y₁ = 5%y₂ = 3,5%

ΔP = €

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation à 14 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) se vend €1 099. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 6 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 060. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.

F = €1 000coupon = 6%P = €1 099prix de remboursement anticipé = €1 060remboursement anticipé dans 6 ans

YTC = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 0,75. Son coût des capitaux propres est de 8%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.

D/E = 0,75r_e = 8%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,8. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,75. Le taux d’imposition est de 20%, le taux sans risque de 4% et la prime de risque du marché de 6%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e avec la nouvelle structure du capital.

β_U = 0,8D/E = 0,75T = 20%r_f = 4%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €50 000 aujourd’hui et rapporte €20 000, €18 500, €13 500, €17 000, €14 000 à la fin des années 1 à 5. Le coût du capital est de 8 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 20 000CF₂ = 18 500CF₃ = 13 500CF₄ = 17 000CF₅ = 14 000

DPB = ans

8.VAN et TRIDifficile

Un investissement de €20 000 rapporte €6 000 à la fin de chaque année pendant 4 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

C₀ = €20 000CF = €6 000n = 4

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 34903 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·10 = 120

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,433 = €34 902,62

Réponse

PV = €34 902,62

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 262,4 €

Taux mensuel et nombre de mensualités

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·4 = 48

Mensualité

La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.

(1 + i)^−N = 0,9086

A = 12 000·0,002/(1 − 0,9086) = €262,44

Réponse

A = €262,44

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: ΔP = 107,2 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Prix à l’ancien rendement

C = €60,00, i = 0,05, N = 8

€60,00·(1 − 0,6768)/0,05 + €1 000·0,6768 = €387,79 + €676,84 = €1 064,63

Prix au nouveau rendement

C = €60,00, i = 0,035, N = 8

€60,00·(1 − 0,7594)/0,035 + €1 000·0,7594 = €412,44 + €759,41 = €1 171,85

Variation

ΔP = 1 171,85 − 1 064,63 = €107,22

Réponse

ΔP = €107,22

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTC = 4,937 %

Équation du rendement

1099 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1060/(1 + y)⁶

Résoudre numériquement

y = 4%: €1 152,26

y = 5%: €1 095,53

YTC = 4,937%

Réponse

YTC = 4,937%

Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 5%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 6,5 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Poids à partir de D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·8% + 0,4286·6%·(1 − 0,25) = 6,5%

Réponse

WACC = 6,5%

6.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 11,68 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Bêta endetté

β_L = 0,8·(1 + 0,8·0,75) = 1,28

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 4% + 1,28·6% = 11,68%

Réponse

r_e = 11,68%

7.VAN et TRI

Réponse: DPB = 3,392 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 20 000/1,08 = 18 518,52 → Σ = 18 518,52

année 2: 18 500/1,166 = 15 860,77 → Σ = 34 379,29

année 3: 13 500/1,26 = 10 716,74 → Σ = 45 096,02

année 4: 17 000/1,36 = 12 495,51 → Σ = 57 591,53

Fraction de la dernière année

DPB = 3 + 4 903,98/12 495,51 = 3,392

Réponse

DPB = 3,392 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (2,852 ans).

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 7,714 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Facteur d’annuité requis

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 20 000/6 000 = 3,333

Trouver le taux

Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.

i = 7%: 3,387

i = 8%: 3,312

IRR = 7,714%

Réponse

IRR = 7,714%

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