Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu places €12 000 à un taux nominal de 2 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 7 ans.

PV = €12 0002% / 12n = 7

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous empruntez €10 000 à 7,2 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €175 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.

P = €10 000A = €1757,2% / 12

N = versements

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 3 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €1 113 quand le taux de rendement actuariel est de 3%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.

F = €1 000n = 3P = €1 113YTM = 3%

c = %

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% et arrive à échéance dans 6 ans. Le taux de rendement actuariel est de 6%. Trouvez la duration de Macaulay D en années.

F = €1 000coupon = 4,5%n = 6YTM = 6%

D = ans

5.CAPM et WACCMoyen

Une action de bêta 1,5 a un rendement exigé de 12,25%. Le taux sans risque est de 2,5%. Quel rendement attendu du marché r_m le CAPM implique-t-il ?

β = 1,5r_e = 12,25%r_f = 2,5%

r_m = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €10 000 000 et un coût des capitaux propres de 10%. Sa dette se compose de 4 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%, 8 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €1 033 chacune. Le taux d’imposition est de 25,8%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.

E = €10 000 000r_e = 10%obligations: 4 000 × €1 033coupon = 5%n = 8T = 25,8%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €5 000, €4 000, €6 000. Le coût du capital est de 5 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 4 000CF₃ = 6 000

NPV = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €10 000 et rapporte €5 000, €6 000, €3 000 à la fin des années 1 à 3. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 6 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000CF₃ = 3 000

MIRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 13802 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·7 = 84

Valeur future

FV = 12 000·(1 + 0,001667)⁸⁴ = 12 000·1,15 = €13 801,68

Réponse

FV = €13 801,68

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: N = 71 versements

Réarranger la formule d’annuité

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,006/175 = 0,6571

Résoudre avec les logarithmes

N = −ln(0,6571)/ln(1,006) = 70,19

Arrondir au nombre entier de versements supérieur

70 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.

N = 71

Réponse

N = 71 versements

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: c = 6,995 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Valeur actuelle du nominal

1000·(1 + 0,03)⁻³ = €915,14

Coupon

C = (1113 − 915,14)/2,829 = €69,95

Taux du coupon

c = 69,95/1000 = 6,995%

Réponse

c = 6,995%

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: D = 5,362 ans

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valeur actuelle de chaque flux

t = 1: 45/1,06 = 42,45, t·PV = 42,45

t = 2: 45/1,124 = 40,05, t·PV = 80,10

t = 3: 45/1,191 = 37,78, t·PV = 113,35

t = 4: 45/1,262 = 35,64, t·PV = 142,58

t = 5: 45/1,338 = 33,63, t·PV = 168,13

t = 6: 1045/1,419 = 736,68, t·PV = 4 420,10

Duration

P = 926,24

D = 4 966,71/926,24 = 5,362

Réponse

D = 5,362 ans

5.CAPM et WACC

Réponse: r_m = 9 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Prime de risque du marché

r_m − r_f = (12,25% − 2,5%)/1,5 = 6,5%

Rendement du marché

r_m = 2,5% + 6,5% = 9%

Réponse

r_m = 9%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,052 %

Coût de la dette (YTM)

1033 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 4,5%

Valeurs de marché

D = 4 000·€1 033 = €4 132 000

V = €14 132 000, E/V = 0,7076, D/V = 0,2924

WACC

WACC = 0,7076·10% + 0,2924·4,5%·(1 − 0,258) = 8,052%

Réponse

WACC = 8,052%

7.VAN et TRI

Réponse: NPV = −6427 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de chaque flux

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 5 000/1,05 = 4 761,90

CF₂/(1 + 0,05)² = 4 000/1,103 = 3 628,12

CF₃/(1 + 0,05)³ = 6 000/1,158 = 5 183,03

Additionner

NPV = €−6 426,95

Réponse

NPV = €−6 426,95

La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.

8.VAN et TRI

Réponse: MIRR = 14,42 %

TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Valeur terminale des encaissements

5 000·1,06² = 5 618,00

6 000·1,06¹ = 6 360,00

3 000·1,06⁰ = 3 000,00

TV = 14 978,00

MIRR

MIRR = (14 978,00/10 000)^1/3 − 1 = 14,42%

Réponse

MIRR = 14,42%

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