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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu as besoin de €40 000 dans 3 ans. Un compte rapporte 6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €40 0006% / 12n = 3
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt immobilier de €150 000 est remboursé par mensualités constantes sur 20 ans à 5,4 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 9 ? Trouvez le capital restant dû B.
P = €150 0005,4% / 12N = 240k = 108
B = €
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 5%n = 8
P = €
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 4 ans et se vend €920. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 4P = €920
YTM = %
5.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €5 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,8. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,25. Le taux d’imposition est de 28%, le taux sans risque de 3% et la prime de risque du marché de 4,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,8D/E = 0,25T = 28%rf = 3%rm − rf = 4,5%
re = %
7.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €60 000 aujourd’hui et rapporte €24 000, €22 500, €13 000, €20 500, €27 000 à la fin des années 1 à 5. Le coût du capital est de 8 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Un projet coûte €20 000 et rapporte €10 000, €8 000, €6 500 à la fin des années 1 à 3. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 10 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·3 = 36
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,197 = €33 425,80
Réponse
PV = €33 425,80
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: B = 101689 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.
N − k = 240 − 108 = 132
B = 1023·(1 − (1 + 0,0045)−132)/0,0045 = €101 689,47
Réponse
B = €101 689,47
3.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 1065 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €30,00, i = 0,025, N = 16
Valeur actuelle des coupons
€30,00·(1 − 0,6736)/0,025 = €391,65
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,6736 = €673,62
Prix
P = €1 065,28
Réponse
P = €1 065,28
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
4.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 9,496 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€920 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Résoudre numériquement
P(9%) = €935,21, P(10%) = €904,90
YTM = 9,496%
Réponse
YTM = 9,496%
5.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 10,6 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·14% + 0,2857·3%·(1 − 0,3) = 10,6%
Réponse
WACC = 10,6%
6.CAPM et WACC
Réponse: re = 7,248 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,8·(1 + 0,72·0,25) = 0,944
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 3% + 0,944·4,5% = 7,248%
Réponse
re = 7,248%
7.VAN et TRI
Réponse: DPB = 3,542 ans
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 24 000/1,08 = 22 222,22 → Σ = 22 222,22
année 2: 22 500/1,166 = 19 290,12 → Σ = 41 512,35
année 3: 13 000/1,26 = 10 319,82 → Σ = 51 832,16
année 4: 20 500/1,36 = 15 068,11 → Σ = 66 900,28
Fraction de la dernière année
DPB = 3 + 8 167,84/15 068,11 = 3,542
Réponse
DPB = 3,542 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,024 ans).
8.VAN et TRI
Réponse: MIRR = 11,06 %
TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.