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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu places €1 000 à un taux nominal de 6 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 3 ans.
PV = €1 0006% / 4n = 3
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous voulez disposer de €10 000 dans 3 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 4,2 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.
FV = €10 0004,2% / 12N = 36
A = €
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 10 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 7%) quand son taux de rendement actuariel est de 5,5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 7%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 10y0 = 5,5%y1 = 7%
HPR = %
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation cote €950 avec un taux de rendement actuariel de 7% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 9,2 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement baisse de 50 points de base.
P0 = €950y = 7%D = 9,2Δy = −50 bp
P = €
5.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €3 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 12%, son coût de la dette avant impôt de 7% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 2 500 000 actions à €19,50 chacune et 5 000 obligations cotées €1 000 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4,5% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 1,8, le taux sans risque de 3% et la rentabilité du marché de 9%. Trouvez le WACC.
β = 1,8rf = 3%rm = 9%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
7.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €50 000 aujourd’hui et rapporte €14 500, €12 000, €20 500, €16 000, €18 000, €11 000 à la fin des années 1 à 6. Le coût du capital est de 6 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Un investissement de €50 000 rapporte €20 500 à la fin de chaque année pendant 3 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
C0 = €50 000CF = €20 500n = 3
IRR = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 1196 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modifiée
Dmod = 9,2/1,07 = 8,598
Variation de prix estimée
%ΔP ≈ −8,598·(−0,005) = 4,299%
P ≈ 950·(1 + 0,04299) = €990,84
Réponse
P = €990,84
La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.
5.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,267 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·12% + 0,6667·7%·(1 − 0,3) = 7,267%
Réponse
WACC = 7,267%
6.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 12,81 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 14 500/1,06 = 13 679,25 → Σ = 13 679,25
année 2: 12 000/1,124 = 10 679,96 → Σ = 24 359,20
année 3: 20 500/1,191 = 17 212,20 → Σ = 41 571,40
année 4: 16 000/1,262 = 12 673,50 → Σ = 54 244,90
Fraction de la dernière année
DPB = 3 + 8 428,60/12 673,50 = 3,665
Réponse
DPB = 3,665 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,188 ans).
8.VAN et TRI
Réponse: IRR = 11,11 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Facteur d’annuité requis
(1 − (1 + i)−3)/i = 50 000/20 500 = 2,439
Trouver le taux
Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.