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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu as besoin de €25 000 dans 9 ans. Un compte rapporte 5 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €25 0005% / 12n = 9
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous voulez disposer de €100 000 dans 6 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 7,2 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.
FV = €100 0007,2% / 12N = 72
A = €
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 9 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €760 quand le taux de rendement actuariel est de 9%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 9P = €760YTM = 9%
c = %
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 5% arrive à échéance dans 10 ans et se vend €860. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%n = 10P = €860
YTM = %
5.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres valant €3 000 000 et une dette valant €5 000 000. Son WACC est de 6,23%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le coût des capitaux propres re.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,9. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,5. Le taux d’imposition est de 30%, le taux sans risque de 2% et la prime de risque du marché de 6%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,9D/E = 0,5T = 30%rf = 2%rm − rf = 6%
re = %
7.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €75 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €25 000, €29 000, €31 000. Le coût du capital est de 8 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €20 000 et rapporte €8 500, €8 000, €7 500, €6 500 à la fin des années 1 à 4. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 8 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·9 = 108
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,567 = €15 955,61
Réponse
PV = €15 955,61
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 1115 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,09)−9 = €460,43
Coupon
C = (760 − 460,43)/5,995 = €49,97
Taux du coupon
c = 49,97/1000 = 4,997%
Réponse
c = 4,997%
4.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 6,993 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€860 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Résoudre numériquement
P(6%) = €926,40, P(7%) = €859,53
YTM = 6,993%
Réponse
YTM = 6,993%
5.CAPM et WACC
Réponse: re = 10,99 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
Part de la dette dans le WACC
0,625·4,5%·(1 − 0,25) = 2,109%
Coût des capitaux propres
re = (6,23% − 2,109%)/0,375 = 10,99%
Réponse
re = 10,99%
6.CAPM et WACC
Réponse: re = 9,29 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,9·(1 + 0,7·0,5) = 1,215
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 2% + 1,215·6% = 9,29%
Réponse
re = 9,29%
7.VAN et TRI
Réponse: NPV = −2380 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 25 000/1,08 = 23 148,15
CF2/(1 + 0,08)2 = 29 000/1,166 = 24 862,83
CF3/(1 + 0,08)3 = 31 000/1,26 = 24 608,80
Additionner
NPV = €−2 380,23
Réponse
NPV = €−2 380,23
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
8.VAN et TRI
Réponse: MIRR = 14,72 %
TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.