Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €50 000 dans 7 ans. Un compte rapporte 3 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €50 0003% / 4n = 7

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous voulez disposer de €75 000 dans 20 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 3 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.

FV = €75 0003% / 12N = 240

A = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 13 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €1 399 quand le taux de rendement actuariel est de 4%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.

F = €1 000n = 13P = €1 399YTM = 4%

c = %

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% et arrive à échéance dans 5 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3,5%. Trouvez la duration de Macaulay D en années.

F = €1 000coupon = 5%n = 5YTM = 3,5%

D = ans

5.CAPM et WACCMoyen

Une action de bêta 0,8 a un rendement exigé de 6,6%. Le taux sans risque est de 1%. Quel rendement attendu du marché r_m le CAPM implique-t-il ?

β = 0,8r_e = 6,6%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 2 500 000 actions à €25,00 chacune et 20 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4% et le taux d’imposition de 20%. Le bêta de l’action est de 0,8, le taux sans risque de 4% et la rentabilité du marché de 10,5%. Trouvez le WACC.

β = 0,8r_f = 4%r_m = 10,5%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €40 000 aujourd’hui, dure 8 ans et coûte €1 500 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 8 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.

C₀ = €40 000M = €1 500n = 8r = 8%

EAC = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €25 000 et rapporte €10 000, €13 000, €18 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −25 000CF₁ = 10 000CF₂ = 13 000CF₃ = 18 000

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 40561 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,03/4 = 0,0075

N = 4·7 = 28

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,233 = €40 560,98

Réponse

PV = €40 560,98

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 228,4 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·20 = 240

Versement

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0,0025/(1,821 − 1) = €228,45

Réponse

A = €228,45

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: c = 7,996 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Valeur actuelle du nominal

1000·(1 + 0,04)⁻¹³ = €600,57

Coupon

C = (1399 − 600,57)/9,986 = €79,96

Taux du coupon

c = 79,96/1000 = 7,996%

Réponse

c = 7,996%

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: D = 4,563 ans

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valeur actuelle de chaque flux

t = 1: 50/1,035 = 48,31, t·PV = 48,31

t = 2: 50/1,071 = 46,68, t·PV = 93,35

t = 3: 50/1,109 = 45,10, t·PV = 135,29

t = 4: 50/1,148 = 43,57, t·PV = 174,29

t = 5: 1050/1,188 = 884,07, t·PV = 4 420,36

Duration

P = 1 067,73

D = 4 871,60/1 067,73 = 4,563

Réponse

D = 4,563 ans

5.CAPM et WACC

Réponse: r_m = 8 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Prime de risque du marché

r_m − r_f = (6,6% − 1%)/0,8 = 7%

Rendement du marché

r_m = 1% + 7% = 8%

Réponse

r_m = 8%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 7,768 %

Valeurs de marché

E = 2 500 000·€25,00 = €62 500 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 4% + 0,8·6,5% = 9,2%

Pondérations

V = €82 100 000, E/V = 0,7613, D/V = 0,2387

WACC

WACC = 0,7613·9,2% + 0,2387·4%·(1 − 0,2) = 7,768%

Réponse

WACC = 7,768%

7.VAN et TRI

Réponse: EAC = 8461 €

Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.

Facteur d’annuité

(1 − 1,08⁻⁸)/0,08 = 5,747

Prix d’achat annualisé

40 000/5,747 = 6 960,59

EAC

EAC = 6 960,59 + 1 500 = €8 460,59

Réponse

EAC = €8 460,59

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 26,3 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(25%) = 536,00

NPV(30%) = −1 422,39

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 25 + 5·536,00/(536,00 − (−1 422,39)) = 26,37%

exact: NPV(26,3%) = 0 → IRR = 26,3%

Réponse

IRR = 26,3%

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