Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une annuité verse €5 000 à la fin de chaque année pendant 10 ans. Le taux d’intérêt est de 5 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.

A = €5 000i = 5%n = 10

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Tu épargnes €500 à la fin de chaque mois pendant 22 ans. Le compte rapporte 4,2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.

A = €5004,2% / 12N = 264

FV = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Vous achetez une obligation à 12 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) quand son taux de rendement actuariel est de 7%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 8,5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.

F = €1 000coupon = 6%n = 12y₀ = 7%y₁ = 8,5%

HPR = %

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 4 ans. Elle se vend €769. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.

F = €1 000coupon = 2% (2×)n = 4P = €769

YTM = %

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres valant €8 000 000 et une dette valant €1 000 000. Son WACC est de 11,07%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e.

E = €8 000 000D = €1 000 000WACC = 11,07%r_d = 5%T = 28%

r_e = %

6.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 4 000 000 actions cotant €23,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €37 600 000. Elle vient de verser un dividende de €2,00 par action, et les dividendes croissent de 5% par an. Sa dette a une valeur de marché de €94 000 000 et un coût avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 25%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.

N = 4 000 000P₀ = €23,50capitaux propres comptables = €37 600 000D₀ = €2,00g = 5%D = €94 000 000r_d = 3%T = 25%

WACC = %

7.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €50 000 aujourd’hui. Elle génère €6 500 à la fin de chaque année pendant 8 ans et peut ensuite être revendue €12 500. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €50 000CF = €6 500S = €12 500n = 8r = 8%

NPV = €

8.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €50 000 et rapporte €34 000, €37 000 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −50 000CF₁ = 34 000CF₂ = 37 000

IRR = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 38609 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Facteur d’annuité

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6139)/0,05 = 7,722

Valeur actuelle

PV = 5 000·7,722 = €38 608,67

Réponse

PV = €38 608,67

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 216470 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·22 = 264

Valeur future des versements

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2,515 − 1)/0,0035 = €216 469,52

Réponse

FV = €216 469,52

Tu as versé toi-même €132 000 ; le reste, ce sont des intérêts.

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: HPR = −3,78 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Prix d’achat

C = €60,00, i = 0,07, N = 12

€60,00·(1 − 0,444)/0,07 + €1 000·0,444 = €476,56 + €444,01 = €920,57

Prix de vente

C = €60,00, i = 0,085, N = 11

€60,00·(1 − 0,4076)/0,085 + €1 000·0,4076 = €418,14 + €407,64 = €825,78

Rendement sur la période de détention

HPR = (60 + 825,78 − 920,57)/920,57 = −3,78%

Réponse

HPR = −3,78%

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 9,005 %

Par période

C = €10,00, N = 8

Résoudre numériquement

i = 4,503% par semestre

YTM

YTM = 2·4,503% = 9,005%

Réponse

YTM = 9,005%

5.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 12 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111

Part de la dette dans le WACC

0,1111·5%·(1 − 0,28) = 0,4%

Coût des capitaux propres

r_e = (11,07% − 0,4%)/0,8889 = 12%

Réponse

r_e = 12%

6.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,093 %

Coût des capitaux propres

D₁ = 2·1,05 = €2,10

r_e = 2,1/23,5 + 0,05 = 13,94%

Valeurs de marché

E = 4 000 000·€23,50 = €94 000 000

V = €188 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·13,94% + 0,5·3%·(1 − 0,25) = 8,093%

Réponse

WACC = 8,093%

7.VAN et TRI

Réponse: NPV = −5893 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle des flux annuels

6 500·5,747 = 37 353,15

Valeur actuelle de la valeur résiduelle

12 500/1,851 = 6 753,36

NPV

NPV = −50 000 + 37 353,15 + 6 753,36 = −€5 893,49

Réponse

NPV = −€5 893,49

8.VAN et TRI

Réponse: IRR = 26,5 %

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(25%) = 880,00

NPV(30%) = −1 952,66

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 25 + 5·880,00/(880,00 − (−1 952,66)) = 26,55%

exact: NPV(26,5%) = 0 → IRR = 26,5%

Réponse

IRR = 26,5%

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