Investissements et évaluation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €15 000 dans 3 ans. Un compte rapporte 4 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €15 0004% / 4n = 3

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €15 000 est remboursé par mensualités égales sur 3 ans. Le taux d'intérêt est de 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.

P = €15 0003,6% / 12N = 36

A = €

3.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 11 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €1 278 quand le taux de rendement actuariel est de 3%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.

F = €1 000n = 11P = €1 278YTM = 3%

c = %

4.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation cote €1 085 avec un taux de rendement actuariel de 7% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 11,4 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement augmente de 50 points de base.

P₀ = €1 085y = 7%D = 11,4Δy = +50 bp

P = €

5.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 12%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 25,8%. Trouvez le WACC.

E = €6 000 000D = €1 000 000r_e = 12%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM et WACCDifficile

Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1,3 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,2. Elle prévoit de porter ce ratio à 0,75. Le taux d’imposition est de 25,8%, le taux sans risque de 3% et la prime de risque du marché de 4%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e après ce changement.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,2D/E₂ = 0,75T = 25,8%r_f = 3%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.VAN et TRIMoyen

Un investissement de €30 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €11 000, €8 000, €13 000, €12 000. Le coût du capital est de 15 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 8 000CF₃ = 13 000CF₄ = 12 000

NPV = €

8.VAN et TRIDifficile

Le projet A coûte €30 000 et rapporte €17 000, €12 000, €6 500 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €40 000 et rapporte €11 000, €16 000, €21 000. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.

A: −30 000, 17 000, 12 000, 6 500B: −40 000, 11 000, 16 000, 21 000

r* = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 13312 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·3 = 12

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,127 = €13 311,74

Réponse

PV = €13 311,74

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 440,2 €

Taux mensuel et nombre de mensualités

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·3 = 36

Mensualité

La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.

(1 + i)^−N = 0,8978

A = 15 000·0,003/(1 − 0,8978) = €440,20

Réponse

A = €440,20

3.Prix et rendement des obligations

Réponse: c = 6,005 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Valeur actuelle du nominal

1000·(1 + 0,03)⁻¹¹ = €722,42

Coupon

C = (1278 − 722,42)/9,253 = €60,05

Taux du coupon

c = 60,05/1000 = 6,005%

Réponse

c = 6,005%

4.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1027 €

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modifiée

D_mod = 11,4/1,07 = 10,65

Variation de prix estimée

%ΔP ≈ −10,65·(0,005) = −5,327%

P ≈ 1085·(1 − 0,05327) = €1 027,20

Réponse

P = €1 027,20

La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.

5.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 10,92 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,8571·12% + 0,1429·6%·(1 − 0,258) = 10,92%

Réponse

WACC = 10,92%

6.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 10,05 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Désendetter le bêta

β_U = 1,3/(1 + 0,742·0,2) = 1,132

Réendetter au nouveau D/E

β_L = 1,132·(1 + 0,742·0,75) = 1,762

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 3% + 1,762·4% = 10,05%

Réponse

r_e = 10,05%

7.VAN et TRI

Réponse: NPV = 1023 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de chaque flux

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 11 000/1,15 = 9 565,22

CF₂/(1 + 0,15)² = 8 000/1,322 = 6 049,15

CF₃/(1 + 0,15)³ = 13 000/1,521 = 8 547,71

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 12 000/1,749 = 6 861,04

Additionner

NPV = €1 023,12

Réponse

NPV = €1 023,12

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.

8.VAN et TRI

Réponse: r* = 6,208 %

Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.

Différence des flux

ΔCF₀ = −40 000 − (−30 000) = −10 000

ΔCF₁ = 11 000 − 17 000 = −6 000

ΔCF₂ = 16 000 − 12 000 = 4 000

ΔCF₃ = 21 000 − 6 500 = 14 500

TRI de la différence

NPV_Δ(6%) = 74,09

NPV_Δ(7%) = −277,40

r* = 6,208%

Réponse

r* = 6,208%

Vérification : à 6,208%, les deux VAN valent €2 070,22.

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