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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu as besoin de €50 000 dans 4 ans. Un compte rapporte 4 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €50 0004% / 12n = 4
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €300 à la fin de chaque mois pendant 16 ans. Le compte rapporte 7,2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €3007,2% / 12N = 192
FV = €
3.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 5 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%) quand son taux de rendement actuariel est de 8%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 7,5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%n = 5y0 = 8%y1 = 7,5%
HPR = %
4.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 19 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 7%) se vend €1 174. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 4 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 070. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%P = €1 174prix de remboursement anticipé = €1 070remboursement anticipé dans 4 ans
YTC = %
5.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €2 000 000 et une dette de €4 000 000. Son coût des capitaux propres est de 10%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 5 000 000 actions à €15,00 chacune et 5 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 0,9, le taux sans risque de 2,5% et la rentabilité du marché de 7%. Trouvez le WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 7%rd = 7%T = 30%
WACC = %
7.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €20 000 aujourd’hui, dure 10 ans et coûte €3 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 5 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €20 000M = €3 000n = 10r = 5%
EAC = €
8.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €200 000 aujourd’hui. Son flux vaut €31 500 à la fin de l’année 1 et croît de 5 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 7. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €200 000CF1 = €31 500g = 5%n = 7r = 10%
NPV = €
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 42619 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·4 = 48
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,173 = €42 618,53
Réponse
PV = €42 618,53
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 107682 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €57 600 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = 9,776 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1174 = 70·(1 − (1 + y)−4)/y + 1070/(1 + y)4
Résoudre numériquement
y = 3%: €1 210,88
y = 4%: €1 168,73
YTC = 3,872%
Réponse
YTC = 3,872%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 5,501%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
5.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,833 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €6 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·10% + 0,6667·5%·(1 − 0,25) = 5,833%
Réponse
WACC = 5,833%
6.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,445 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,05−10)/0,05 = 7,722
Prix d’achat annualisé
20 000/7,722 = 2 590,09
EAC
EAC = 2 590,09 + 3 000 = €5 590,09
Réponse
EAC = €5 590,09
8.VAN et TRI
Réponse: NPV = −24901 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.