Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Deux arbres parallèles sont distants de 100 mm. Ils doivent être reliés par un engrenage à denture droite de module 2 mm avec un rapport de réduction de 4 : 1. Combien de dents N₁ le pignon doit-il avoir ?

a = 100 mmm = 2 mmi = 4

N₁ =

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Dans un train d’engrenages composé, la roue A (20 dents), sur l’arbre d’entrée qui tourne à 960 rpm, entraîne la roue B (36 dents). La roue C (16 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D (72 dents) sur l’arbre de sortie. Trouvez la vitesse de sortie n_out.

n_in = 960 rpmA = 20B = 36C = 16D = 72

n_out = rpm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 100 kW à 1450 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 80 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 100 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 120 MPa et σᵧ = −50 MPa. Jusqu’à quelle valeur la contrainte de cisaillement τ_xy (en valeur absolue) peut-elle monter avant que la plus grande contrainte principale atteigne 130 MPa ?

σ_x = 120 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 130 MPa

τ_xy = MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 130 MPa, σᵧ = 30 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 20° dans le sens horaire par rapport à l’axe x.

σ_x = 130 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 20 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en cuivre (diamètre 60 mm, longueur 400 mm, E = 120 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,2 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: cuivre, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 30 mm, longueur 300 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en laiton (diamètre 40 mm, longueur 200 mm, E = 100 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 80 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPatronçon 2: laiton, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 105 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 105 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Lors d’un essai de vibrations libres d’un système masse–ressort amorti, un pic de déplacement de 10 mm est suivi, 2 cycles plus tard, d’un pic de 7,8 mm. Trouvez le taux d’amortissement ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 7,8 mmn = 2

ζ =

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 5 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 40 kN/m et k₂ = 12 kN/m. La masse reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts. Trouvez la fréquence propre f_n des vibrations verticales, en Hz.

m = 5 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: N₁ = 20

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Nombre total de dents

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·100/2 = 100

Répartir selon le rapport

N₁ = 100/(1 + 4) = 20

Réponse

N₁ = 20

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: n_out = 118,5 rpm

Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.

Premier étage

n_B = 960·20/36 = 533,3 rpm = n_C

Deuxième étage

n_out = 533,3·16/72 = 118,5 rpm

Réponse

n_out = 118,5 rpm

rapport total = 8,1 : 1

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 0,8754 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(80000·613592) = 0,01528 rad

φ = 0,01528·180/π = 0,8754°

Réponse

φ = 0,8754°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 34,74 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·658572/(π·80)) = 34,74 mm

Réponse

d = 34,74 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_xy = 42,43 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon requis

C = (120 + (−50))/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 130 − 35 = 95 MPa

Contrainte de cisaillement

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 85²) = 42,43 MPa

Réponse

τ_xy = 42,43 MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 131,2 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 80 + 50·0,766 + −20·−0,6428 = 131,2 MPa

Réponse

σ_θ = 131,2 MPa

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 21,89 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·2827) = 1,179 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,2/9,137 × 10⁻⁶ = 21890 N = 21,89 kN

Réponse

P = 21,89 kN

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 36,38 MPa

Rigidités

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 100000·1257/200 = 628319 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 80000·628319/1,1 × 10⁶ = 45714 N

Contrainte

σ₂ = 45714/1257 = 36,38 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 36,38 MPa

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 3,139 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·2500 = 5000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Réponse

P_cr = 3,139 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 48 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·105000 = 262500 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 48 mm

Réponse

d = 48 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 116,7, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

11.Vibrations mécaniques

Réponse: ζ = 0,01977

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Décrément logarithmique

δ = (1/2)·ln(10/7,8) = 0,1242

Taux d’amortissement

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1242/√(39,48 + 0,01543) = 0,01977

Réponse

ζ = 0,01977

12.Vibrations mécaniques

Réponse: f_n = 16,23 Hz

Raideur équivalente

Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 12 = 52 kN/m

Fréquence propre

ω_n = √(52000/5) = 102 rad/s

f_n = 102/(2π) = 16,23 Hz

Réponse

f_n = 16,23 Hz

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