Conception de machines : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Engrenages et trains d’engrenages

Roues en prise: n₁·N₁ = n₂·N₂
Couple: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Puissance: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé: rapport total = produit des rapports de chaque étage

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrations mécaniques

Fréquence propre: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
À partir de la flèche statique: ω_n = √(g/δ_st)
Amortissement critique: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Taux d’amortissement: ζ = c/c_c
Fréquence amortie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Décrément logarithmique: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Ressorts en parallèle: k = k₁ + k₂
Ressorts en série: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Exercices

1.Engrenages et trains d’engrenagesMoyen

Un moteur de 3 kW à 960 tr/min entraîne une vis sans fin à 4 filet(s). La roue a 50 dents et la transmission a un rendement de 75 %. Trouvez le couple de sortie T_w sur l’arbre de la roue.

z = 4N_w = 50n = 960 rpmP = 3 kWη = 75%

T_w = N·m

2.Engrenages et trains d’engrenagesDifficile

Dans un train d’engrenages composé, la roue A (15 dents), sur l’arbre d’entrée qui tourne à 3000 rpm, entraîne la roue B (48 dents). La roue C (16 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D (20 dents) sur l’arbre de sortie. Trouvez la vitesse de sortie n_out.

n_in = 3000 rpmA = 15B = 48C = 16D = 20

n_out = rpm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein étagé en acier est encastré en A. Le tronçon AB a un diamètre de 30 mm et une longueur de 1,2 m ; le tronçon BC a un diamètre de 25 mm et une longueur de 1,2 m. Un couple de 750 N·m agit à l’extrémité libre C. Trouvez l’angle de torsion φ_C de l’extrémité C, en degrés.

T = 750 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton de diamètre 50 mm est encastré en A. Un couple de 400 N·m agit en B, à 0,5 m de A, et un couple de 1500 N·m de sens opposé agit à l’extrémité libre C, 2,5 m plus loin. Trouvez la valeur absolue de l’angle de torsion φ_C de l’extrémité C, en degrés.

d = 50 mmT_B = 400 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,5 mBC = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 60 MPa, σᵧ = −50 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 20 MPa, σᵧ = −10 MPa et τₓᵧ = 40 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 25° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en acier sous l’effort axial.

P = 55 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 110 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 2 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 150 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 150 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Vibrations mécaniquesMoyen

Une masse de 25 kg est portée par un ressort de raideur 4 kN/m et un amortisseur visqueux de coefficient d’amortissement 90 N·s/m. Trouvez le taux d’amortissement ζ.

m = 25 kgk = 4 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

12.Vibrations mécaniquesDifficile

Une masse de 5 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 30 kN/m et k₂ = 60 kN/m. La masse reste horizontale. Trouvez la raideur équivalente k_eq du système de ressorts, en kN/m.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Solutions

1.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: T_w = 279,8 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Vitesse de la roue

n_w = n·z/N_w = 960·4/50 = 76,8 rpm

Couple de sortie

ω_w = 2π·76,8/60 = 8,042 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,75·3000/8,042 = 279,8 N·m

Réponse

T_w = 279,8 N·m

2.Engrenages et trains d’engrenages

Réponse: n_out = 750 rpm

Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.

Premier étage

n_B = 3000·15/48 = 937,5 rpm = n_C

Deuxième étage

n_out = 937,5·16/20 = 750 rpm

Réponse

n_out = 750 rpm

rapport total = 4 : 1

3.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 24,91 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moments polaires

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Torsion de chaque tronçon

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 750000·1200/(80000·79522) = 0,1415 rad

φ_BC = 750000·1200/(80000·38350) = 0,2934 rad

Torsion totale

φ_C = 0,1415 + 0,2934 = 0,4348 rad = 24,91°

Réponse

φ_C = 24,91°

4.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 10,3 °

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 400 = 1100 N·m

Torsion de chaque tronçon

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,1 × 10⁶·500/(39000·613592) = 0,02298 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·2500/(39000·613592) = 0,1567 rad

Torsion de l’extrémité C

φ_C = 0,02298 + 0,1567 = 0,1797 rad → |φ_C| = 10,3°

Réponse

φ_C = 10,3°

5.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 58,52 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((60 − −50)/2)² + −20²) = 58,52 MPa

Réponse

τ_max = 58,52 MPa

6.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 14,22 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −15·0,766 + 40·0,6428 = 14,22 MPa

Réponse

τ_θ = 14,22 MPa

7.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 1,751 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 55·1000/78,54 = 700,3 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 700,3/200000 = 0,003501 = 3501 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,003501·500 mm = 1,751 mm

Réponse

δ = 1,751 mm

8.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 22,11 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 155,6 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 155,6·2000/117000 = 2,66 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 972,6·2000/100000 = 19,45 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 22,11 mm

Réponse

δ = 22,11 mm

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 16,82 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·3000 = 6000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16,82 kN

Réponse

P_cr = 16,82 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 104,5 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 104,5 mm

Réponse

d = 104,5 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 114,8, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

11.Vibrations mécaniques

Réponse: ζ = 0,1423

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Amortissement critique

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·25) = 632,5 N·s/m

Taux d’amortissement

ζ = c/c_c = 90/632,5 = 0,1423

Réponse

ζ = 0,1423

ζ < 1 : le système est sous-amorti et oscille en s’amortissant.

12.Vibrations mécaniques

Réponse: k_eq = 90 kN/m

Raideur équivalente

Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 60 = 90 kN/m

Réponse

k_eq = 90 kN/m

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