Mesures et instrumentation : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Pont de Wheatstone et jauges de contrainte

Tensions des diviseurs: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Sorties: V_ab = V_a − V_b
Bilan: R₁/R₂ = R₃/R₄
Pont à fil: R/R_x = l/(100 − l)
Résistance de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Facteur de jauge: ΔR/R = GF·ε
Sortie du pont: quart V_s·GF·ε/4, demi V_s·GF·ε/2, complet V_s·GF·ε
Petite variation, un seul bras: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Contrainte: σ = E·ε

Méthode

Considérez le pont comme deux diviseurs de tension alimentés par la même source.
Pour l’équilibre, posez R₁/R₂ = R₃/R₄ et résolvez pour la résistance inconnue.
Pour un pont déséquilibré, trouvez V_a et V_b avec les diviseurs et faites la différence ; utilisez l’équivalent de Thévenin lorsqu’un appareil de mesure charge la sortie.
Pour les jauges de contrainte, convertissez la déformation en ΔR/R = GF·ε et utilisez V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 pour un quart de pont, un demi-pont ou un pont complet.

Acquisition de données et échantillonnage

Critère de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Fréquence d’alias: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Pas de quantification: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erreur de quantification (arrondi): ±½ LSB
CAN à troncature: D = ⌊V_in/LSB⌋
Nombre de bits pour une résolution r: 2ᴺ ≥ span/r
RSBQ idéal, sinusoïde pleine échelle: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Débit de données: canaux × f_s × N bit/s
CAN multiplexé: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud ; 8N1 = 10 bits par octet ; octets/s = baud/bits par trame
Diviseur de débit en bauds: baud = f_clk/(16·D)

Méthode

Notez les données : fréquence d’échantillonnage, fréquences du signal, nombre de bits, plage d’entrée, débit en bauds.
Pour les questions d’échantillonnage, comparez chaque fréquence à f_s/2 ; une fréquence plus élevée apparaît à f_a = |f − k·f_s|, avec le multiple de f_s le plus proche.
Pour les questions de résolution, calculez 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, ou le plus petit N tel que 2ᴺ ≥ étendue/résolution.
Pour les débits et les liaisons UART, comptez tout ce qui est envoyé : canaux, échantillons par seconde, bits ou octets entiers par échantillon, et bits de start, de parité et de stop de chaque trame.

Circuits à ampli op

Amplificateur inverseur: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificateur non inverseur: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificateur sommateur: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ampli op idéal: V₊ = V₋, I_in = 0

Résistances en série et en parallèle

Résistances en série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Résistances en parallèle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Deux en parallèle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Loi d’Ohm: V = I·R
Puissance: P = V·I = I²R = V²/R

Méthode

Commencez par l’extrémité du réseau la plus éloignée des bornes.
Associez les résistances en série en les additionnant, et les résistances en parallèle avec 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redessinez le circuit après chaque étape.
Recommencez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une résistance entre les bornes.

Thévenin et Norton

Tension de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Résistance de Thévenin: R_th : toutes les sources éteintes, vue depuis a–b
Courant de Norton: I_N = V_th/R_th
Courant de charge: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Transfert de puissance maximal: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Méthode

Retirez la charge et repérez les deux bornes a et b.
Trouvez la tension à vide entre a et b : c’est V_th.
Éteignez toutes les sources indépendantes et trouvez la résistance vue des bornes a–b : c’est R_th.
Rebranchez la charge sur le circuit équivalent : V_th en série avec R_th.
Pour l’équivalent de Norton, convertissez : I_N = V_th/R_th, avec R_N = R_th en parallèle.

2Exercices

1.Pont de Wheatstone et jauges de contrainteMoyen

Un pont a quatre bras de 250 Ω et V_s = 3 V. Le capteur R₂ augmente de ΔR = 1,25 Ω. En utilisant l’approximation des petites variations, trouvez la sortie V_ab en mV.

V_s = 3 VR = 250 ΩΔR = 1,25 Ω

V_ab = mV

2.Pont de Wheatstone et jauges de contrainteDifficile

Un quart de pont avec une jauge active (GF = 2) est alimenté sous 3 V. Sous charge, la sortie indique 1,8 mV. Trouvez la déformation ε en µε.

V_s = 3 VGF = 2V_o = 1,8 mV

ε = µε

3.Acquisition de données et échantillonnageMoyen

Un UART envoie des octets à 19200 bauds au format 8E1 : 8 bits de données, un bit de parité paire et 1 bit(s) de stop, plus le bit de start. Trouvez le plus grand nombre d’octets de données par seconde qu’il peut transférer.

baud = 19200 Bd8E1

R_B = B/s

4.Acquisition de données et échantillonnageDifficile

Un microcontrôleur à horloge de 4 MHz règle le débit en bauds de son UART à f_clk/(16·D), avec D un entier arrondi à la valeur la plus proche. La cible est 9600 bauds. Trouvez l’erreur en pourcentage du débit réel (positive quand il est trop rapide).

f_clk = 4 MHzcible = 9600 Bd

e = %

5.Circuits à ampli opMoyen

L’amplificateur de différence utilise un ampli op idéal alimenté en ±15 V, avec R₃ = R₁ et R₄ = R₂. Trouvez la tension de sortie V_out.

V₁ = −1,5 VV₂ = 1,5 VR₁ = R₃ = 10 kΩR₂ = R₄ = 4,7 kΩ

V_out = V

6.Circuits à ampli opDifficile

L’amplificateur sommateur utilise un ampli op idéal alimenté en ±15 V. Trouvez le courant I_f dans la résistance de contre-réaction, orienté vers la sortie.

V₁ = −0,3 VV₂ = −0,3 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 100 kΩ

I_f = mA

7.Résistances en série et en parallèleMoyen

Trouvez le courant I_R1 fourni par la source, qui traverse R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

8.Résistances en série et en parallèleDifficile

Trouvez le courant I_R2 dans R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin et NortonMoyen

Une charge R_L = 12 Ω est branchée entre a et b. Remplacez le reste du circuit par son équivalent de Thévenin et trouvez le courant de charge I_L.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

10.Thévenin et NortonDifficile

Trouvez la tension de Thévenin V_th vue des bornes a–b.

V₁ = 5 VI_s = 6 AR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 Ω

V_th = V

3Solutions

1.Pont de Wheatstone et jauges de contrainte

Réponse: V_ab = 3,75 mV

Pont de Wheatstone : deux diviseurs de tension partagent une même alimentation V_s. Le diviseur de gauche R₁–R₂ donne V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) et le diviseur de droite R₃–R₄ donne V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) ; la sortie est V_ab = V_a − V_b. Le pont est équilibré (V_ab = 0, aucun courant dans l’appareil de mesure) lorsque R₁/R₂ = R₃/R₄, c’est-à-dire R₁·R₄ = R₂·R₃. Vu de la sortie, le pont est une source de Thévenin avec R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Variation relative

ΔR/R = 1,25/250 = 0,005

Sortie linéarisée

V_ab ≈ 3·0,005/4 = 3,75 mV

Réponse

V_ab = 3,75 mV

La valeur exacte est 3,741 mV ; l’approximation est bonne tant que ΔR/R est petit.

2.Pont de Wheatstone et jauges de contrainte

Réponse: ε = 1200 µε

Jauges de contrainte : une jauge change de résistance sous l’effet de la déformation : ΔR/R = GF·ε, où le facteur de jauge GF vaut environ 2 pour une feuille métallique. Dans un pont dont tous les bras valent R, une jauge active (quart de pont) donne V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Deux jauges actives soumises à des déformations opposées dans des bras adjacents (demi-pont) donnent V_s·GF·ε/2, et quatre (pont complet) donnent V_s·GF·ε. La contrainte se déduit de la loi de Hooke, σ = E·ε. Les cellules de charge indiquent leur sensibilité en mV/V : la sortie à pleine charge par volt d’alimentation.

Résolvez l’équation du quart de pont

ε = 4·0,0018/(3·2) = 0,0012

En microdéformation

ε = 1200 µε

Réponse

ε = 1200 µε

3.Acquisition de données et échantillonnage

Réponse: R_B = 1745 B/s

UART : une liaison série asynchrone envoie chaque octet sous forme de trame : un bit de start (bas), les bits de données, un bit de parité facultatif et un ou deux bits de stop (haut). Le débit en bauds est le nombre de bits par seconde, donc un bit dure T_b = 1/baud et une trame de n bits dure n/baud. Le format courant 8N1 compte 10 bits par octet. Le générateur de bauds divise l’horloge : baud = f_clk/(16·D) avec un entier D, donc le débit réel diffère légèrement de la cible ; une erreur inférieure à 2 % environ est généralement acceptable.

Bits par trame

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Débit en octets

19200/11 = 1745 B/s

Réponse

R_B = 1745 B/s

4.Acquisition de données et échantillonnage

Réponse: e = 0,1603 %

Diviseur

D = 4·10⁶/(16·9600) = 26,04 → 26

Débit réel en bauds

4·10⁶/(16·26) = 9615 Bd

Erreur

(9615 − 9600)/9600·100 = 0,1603 %

Réponse

e = 0,1603 %

Une erreur inférieure à environ 2 % est généralement acceptable.

5.Circuits à ampli op

Réponse: V_out = 1,41 V

Règles de l’ampli op idéal : avec une contre-réaction, l’ampli op règle sa sortie pour que ses deux entrées soient au même potentiel (V₋ = V₊), et aucun courant n’entre dans les entrées. La loi des nœuds à l’entrée inverseuse avec ces deux faits donne la sortie.

Tension aux entrées

R₃ et R₄ sont parcourues par le même courant, donc elles forment un diviseur de tension ; la contre-réaction impose V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,5·4,7/(10 + 4,7) = 0,4796 V

V₋ = V₊

Loi des nœuds à l’entrée inverseuse

(−1,5 − 0,4796)/10 = (0,4796 − V_out)/4,7

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (4,7/10)·(1,5 − (−1,5)) = 1,41 V

Réponse

V_out = 1,41 V

6.Circuits à ampli op

Réponse: I_f = −0,07021 mA

Courants d’entrée

V₋ = 0, donc chaque résistance d’entrée a toute sa tension d’entrée à ses bornes.

I₁ = V₁/R₁ = −0,3/4,7 = −0,06383 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,3/47 = −0,006383 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,07021 mA

Réponse

I_f = −0,07021 mA

7.Résistances en série et en parallèle

Réponse: I_R1 = 1,251 A

Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.

R₃ + R₄ = 15 + 2 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 20·17/(20+17) = 9,189 Ω

R_eq = R₁ + 9,189 = 10 + 9,189 = 19,19 Ω

Courant fourni par la source

La source ne voit que R_eq, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/19,19 = 1,251 A

Réponse

I_R1 = 1,251 A

8.Résistances en série et en parallèle

Réponse: I_R2 = 0,3319 A

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

R₅ + R₆ = 8 + 3 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 3,882 Ω

R₃ + 3,882 = 5,882 Ω

R₂ ∥ 5,882 = 3,947 Ω

R_eq = R₁ + 3,947 = 2 + 3,947 = 5,947 Ω

Courant fourni par la source

La source ne voit que R_eq, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/5,947 = 1,009 A

Courant dans R₂

Retranchez la chute de tension dans R₁ pour obtenir la tension au nœud A, qui est la tension aux bornes de R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 1,009·2 = 3,982 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,982/12 = 0,3319 A

Réponse

I_R2 = 0,3319 A

9.Thévenin et Norton

Réponse: I_L = 1,098 A

Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension V_th en série avec une résistance R_th. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant I_N = V_th/R_th en parallèle avec R_th.

Trouver R_th avec toutes les sources éteintes

Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·6/(4+6) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 2 = 4,4 Ω

Trouver V_th, la tension à vide

Avec a–b ouverts, aucun courant ne traverse R₃, donc aucune chute de tension et V_b = V_A. R₁ et R₂ forment un pont diviseur.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·6/(4+6) = 18 V

Brancher la charge sur l’équivalent de Thévenin

La source de Thévenin et R_th en série se comportent exactement comme le circuit d’origine en a–b, donc la charge voit une simple boucle série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 18/(4,4 + 12) = 1,098 A

10.Thévenin et Norton

Réponse: V_th = −170 V

Trouver R_th avec toutes les sources éteintes

Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·20/(5+20) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 25 = 29 Ω

Trouver V_th, la tension à vide

Avec a–b ouverts, le seul chemin pour Iₛ passe par R₃ vers le nœud A. Trouvez V_A par superposition de V₁ et Iₛ, puis ajoutez la chute de tension dans R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4 + (−6)·4 = −20 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −20 + (−6)·25 = −170 V

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Pont de Wheatstone et jauges de contrainte

Méthode

Acquisition de données et échantillonnage

Méthode

Circuits à ampli op

Résistances en série et en parallèle

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Thévenin et Norton

Méthode

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3Solutions

Variation relative

Sortie linéarisée

Réponse

Résolvez l’équation du quart de pont

En microdéformation

Réponse

Bits par trame

Débit en octets

Réponse

Diviseur

Débit réel en bauds

Erreur

Réponse

Tension aux entrées

Loi des nœuds à l’entrée inverseuse

Réponse

Courants d’entrée

Réponse

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

Courant fourni par la source

Réponse

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

Courant fourni par la source

Courant dans R₂

Réponse

Trouver Rth avec toutes les sources éteintes

Trouver Vth, la tension à vide

Brancher la charge sur l’équivalent de Thévenin

Trouver Rth avec toutes les sources éteintes

Trouver Vth, la tension à vide

Trouver R_th avec toutes les sources éteintes

Trouver V_th, la tension à vide

Trouver R_th avec toutes les sources éteintes

Trouver V_th, la tension à vide