Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en acier, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 120 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 1 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 0,5 m, cuivre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 50 kW à 1800 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 50 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 50 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez l’effort tranchant V_x dans la section x = 1 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mw = 12 kN/m de 0 à 5 mx = 1 m

V_x = kN

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

25 kN @ 0 m10 kN @ 6 m45 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Un tube circulaire a un diamètre extérieur D = 60 mm et un diamètre intérieur d = 44 mm. Trouvez son rayon de giration r par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

D = 60 mmd = 44 mm

r = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 10 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 30 MPa, σᵧ = 40 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 800 mm et d’épaisseur de paroi 8 mm, contient un gaz à une pression relative de 0,5 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 20° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la contrainte normale σ_n qui agit perpendiculairement au cordon de soudure.

D = 800 mmt = 8 mmp = 0,5 MPaα = 20°

σ_n = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 3 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 29 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 2546 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 40·1000/78,54 = 509,3 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 509,3/200000 = 0,002546 = 2546 µε

Réponse

ε = 2546 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 596,8 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 596,8 MPa

Réponse

σ_max = 596,8 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 4,503 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·79522) = 0,0786 rad

φ = 0,0786·180/π = 4,503°

Réponse

φ = 4,503°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 30,01 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·265258/(π·50)) = 30,01 mm

Réponse

d = 30,01 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: V_x = 18 kN

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Couper en x = 1 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

V = R_A − (toutes les charges vers le bas à gauche de la coupe)

V_x = 30 − 12·1 = 18 kN

Réponse

V_x = 18 kN

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: B (x = 1 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 56,67 kN, R₂ = 23,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = −25 kN·m, M_C = 6,667, M_D = −6,667, M_E = −20, M_F = −10, M_G = 0

Réponse

Repère B: M_B = −25 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: r = 18,6 mm

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême. Le rayon de giration r = √(I/A) est la distance à laquelle toute l’aire donnerait le même I ; il sert au flambement des poteaux.

Aire nette et moment quadratique net

A = π(D² − d²)/4 = 1307 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 452188 mm⁴

Rayon de giration

r = √(I/A) = √(452188/1307) = 18,6 mm

Réponse

r = 18,6 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 8,471 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

âme: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·292,5 + 5040·140)/11040 = 222,9 mm

Théorème de Huygens

semelle: 240·25³/12 + 6000·(292,5 − 222,9)² = 2,939 × 10⁷ mm⁴

âme: 18·280³/12 + 5040·(140 − 222,9)² = 6,755 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,939 × 10⁷ + 6,755 × 10⁷ = 9,694 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 305 − 222,9 = 82,12 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·82,12/9,694 × 10⁷ = 8,471 MPa

Réponse

σ_haut = 8,471 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 20,62 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((30 − 40)/2)² + −20²) = 20,62 MPa

Réponse

τ_max = 20,62 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_n = 23,54 MPa

Contraintes dans la paroi

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 0,5·400/8 = 25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12,5 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σ_a) et y selon la circonférence (σ_h). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

σ_n = 12,5·sin²20° + 25·cos²20° = 23,54 MPa

Réponse

σ_n = 23,54 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 19,45 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·3000³/(3·3,99 × 10¹²) = 6,767 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 12,69 mm

Les additionner

δ = 6,767 + 12,69 = 19,45 mm

Réponse

δ = 19,45 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 16,37 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 29000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·4000³/(48·3,99 × 10¹²) = 9,691 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 6,683 mm

Les additionner

δ_max = 9,691 + 6,683 = 16,37 mm

Réponse

δ_max = 16,37 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 47,16 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2500 = 2500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2500² = 47164 N = 47,16 kN

Réponse

P_cr = 47,16 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 69,09 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Réponse

σ_cr = 69,09 MPa

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