Résistance des matériaux : exercices et sujets d’examen

Aussi appelée mécanique des matériaux : contraintes, déformations et déplacements des barres, arbres, poutres et poteaux. Les exercices d’examen combinent une étape de statique (les efforts internes) et une étape de RDM (contrainte ou flèche), donc une erreur dans la première étape se répercute.

S’entraîner gratuitement sur ce coursS’entraîner sur ce coursPasser un examen blanc5 exercices gratuits chaque jour. Aucune carte bancaire requise.

Pack de révision (PDF)Formulaires, étapes de méthode et exercices avec corrigés complets, prêts à imprimer.

Thèmes de ce cours

  1. Contrainte et déformation axialescontrainte normale · déformation et allongement · barre étagéecalculs
  2. Torsion des arbrescontrainte de cisaillement · angle de torsion · transmission de puissancecalculs
  3. Effort tranchant et moment fléchissantcharge ponctuelle · charge répartie sur toute la portée · charge ponctuelle + répartiecalculs
  4. Centre de gravité et moment quadratiquecentre de gravité · moment quadratique · contrainte de flexioncalculs
  5. Cercle de Mohr et changement de repère des contraintescontraintes principales · cisaillement maximal et direction principale · contrainte sur une facette inclinéecalculs
  6. Flèche d’une poutreconsole, charge en bout · charge uniforme · superposition et dimensionnementcalculs
  7. Flambement des poteauxextrémités articulées · autres conditions d’appui · dimensionnement et contrainte critiquecalculs

Conseils pour l’examen de Résistance des matériaux

  • Gardez des unités cohérentes : des newtons et des millimètres donnent directement des contraintes en MPa.
  • En torsion, utilisez le rayon, pas le diamètre, dans τ = T·r/J.
  • Pour le flambement, vérifiez les conditions aux extrémités : la longueur de flambement peut modifier la charge critique d’un facteur 16.

Exemples corrigés

Contrainte et déformation axialesFacile
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

Une tige en acier (diamètre 30 mm, E = 200 GPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en cuivre (diamètre extérieur 100 mm, diamètre intérieur 50 mm, E = 120 GPa). Les deux mesurent 500 mm de long et sont comprimés ensemble entre des plaques rigides par 300 kN. Trouvez la contrainte de compression σr dans la tige.

P = 300 kNbarre: Ø30 mm, E = 200 GPatube: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Calculer σr (MPa)

Afficher les indices
  1. Plaques rigides : la tige et le tube se raccourcissent de la même quantité, donc ε est le même dans les deux.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, Pi = P·EiAi/ΣEA, et σi = Ei·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Déformation commune

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Contrainte dans la tige

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Réponse

σr = 70,74 MPa
Torsion des arbresMoyen
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

Calculer φ (°)

Afficher les indices
  1. Utilisez φ = TL/(GJ), qui donne des radians.
  2. Travaillez en N et mm partout : T en N·mm, L en mm, G en MPa (GPa × 1000), J en mm⁴.
  3. J = 251327 mm⁴.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Réponse

φ = 6,576°

Comment fonctionne l’entraînement

  • « S’entraîner sur ce cours » mélange des exercices de tous ses thèmes, comme un vrai examen.
  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Les examens blancs sont chronométrés et sans indices ; vous obtenez votre score et une correction complète à la fin.

Calculatrices pour ce cours

Calculatrice de flèche de poutreCalculateur de diagrammes d’effort tranchant et de moment fléchissantCalculatrice de torsion d’arbreCalculatrice de contrainte et déformation axialesCalculatrice de flambement d’EulerCalculatrice du cercle de MohrCalculatrice de moment quadratique (moment d’inertie de section)Calculatrice de contrainte de flexion (σ = My/I)Calculatrice de dilatation thermiqueCalculatrice de centre de gravité (formes composées et polygones)

Cours associés

Entraînement à l’examen FE MechanicalConception de machinesEntraînement à l’examen FE CivilCalcul des structuresStatiqueDynamiqueThermodynamique 1Mécanique des fluides
S’entraîner gratuitement sur ce coursS’entraîner sur ce coursPasser un examen blanc5 exercices gratuits chaque jour. Aucune carte bancaire requise.