Torsion des arbres : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : angle de torsion · contrainte de cisaillement

Exercices gratuits sur Torsion des arbres avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : contrainte de cisaillement, angle de torsion, transmission de puissance.

Exercice gratuitFacile
T = 250 N·md = 20 mm

Un arbre plein circulaire transmet un couple T. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τmax dans l’arbre.

T = 250 N·md = 20 mm
MPa
Exercice suivant →
S’entraîner gratuitement en Torsion des arbresS’entraîner en Torsion des arbres maintenant5 exercices gratuits chaque jour. Aucune carte bancaire requise.

Ce que vous travaillez

  1. Facilecontrainte de cisaillement
  2. Moyenangle de torsion
  3. Difficiletransmission de puissance

Comment résoudre les exercices de Torsion des arbres

  1. Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
  2. Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
  3. Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
  4. Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Erreurs fréquentes

  • Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans τ = T·r/J.
  • Oublier de convertir les tr/min (rpm) en rad/s.
  • Donner l’angle de torsion en radians alors qu’il est demandé en degrés.

Formules clés

Contrainte de cisaillement
τ = T·r/J
Arbre plein
J = πd⁴/32
Arbre creux
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion
φ = TL/(GJ)
Puissance
P = T·ω = 2πnT/60

Apprendre Torsion des arbres depuis zéro

Avant cela : Contrainte et déformation axiales

1Ce qu’est la torsion

Un arbre est une tige tournante qui transmet un effort de rotation : l’arbre de transmission d’une voiture, la broche d’une perceuse, l’essieu d’une pompe.

L’effort de rotation est le couple T. C’est une force multipliée par le bras de levier sur lequel elle agit, en N·m. Pousser avec 200 N à l’extrémité d’une clé de 0,5 m donne T = 200 · 0,5 = 100 N·m.

Un arbre soumis à un couple est en torsion. Il se tord un peu, et son matériau supporte une contrainte de cisaillement τ (tau) : les tranches voisines de l’arbre essaient de glisser les unes sur les autres.

Td

Deux questions comptent en conception : la contrainte de cisaillement est-elle assez faible (résistance), et la torsion est-elle assez petite (rigidité) ?

Auto-évaluation Vous poussez avec 200 N à l’extrémité d’une clé de 0,5 m, à angle droit. Quel couple appliquez-vous ?
  1. 100 N·m
  2. 200 N·m
  3. 400 N·m
  4. 50 N·m

Réponse: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0,5 = 100 N·m. Diviser par 0,5 donne 400 ; oublier le bras de levier donne 200.

2Contrainte de cisaillement et moment quadratique polaire

Le centre de l’arbre se déforme à peine. Plus un point est loin du centre, plus il est cisaillé. La contrainte de cisaillement croît donc linéairement avec le rayon, de zéro au centre à son maximum à la surface.

τmax​r0
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J

Ici ρ (rhô) est la distance au centre, r = d/2 est le rayon extérieur, et J est le moment quadratique polaire. J mesure la capacité de la section à résister à la torsion :

Pour un arbre plein de diamètre d, et pour un arbre creux de diamètre extérieur do et de diamètre intérieur di :

J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32

Pour un arbre plein, les deux formules se combinent en une seule, plus courte :

τmax = 16 · T / (π · d³)

Travaillez en N·mm et en mm, pour que la contrainte sorte en N/mm² = MPa. 1 N·m = 1000 N·mm.

Auto-évaluation Dans un arbre plein, τmax = 60 MPa. Quelle est la contrainte de cisaillement à mi-chemin entre le centre et la surface ?
  1. 0 MPa
  2. 15 MPa
  3. 30 MPa
  4. 60 MPa

Réponse: 30 MPa. La contrainte croît linéairement avec ρ, donc en ρ = r/2 elle vaut la moitié de τmax : 30 MPa. Elle n’est pas la même partout, et elle n’est nulle qu’au centre.

3Angle de torsion et puissance

L’extrémité libre de l’arbre tourne de l’angle de torsion φ (phi). Un arbre plus long ou plus fin se tord davantage ; un matériau plus rigide se tord moins :

φ = T · L / (G · J)

G est le module de cisaillement du matériau : environ 80 GPa pour l’acier et 26 GPa pour l’aluminium. La formule donne φ en radians. Multipliez par 180/π pour obtenir des degrés.

Les arbres transmettent souvent la puissance d’un moteur. La puissance est le couple multiplié par la vitesse angulaire, où la vitesse en tr/min doit d’abord être convertie en rad/s :

P = T · ω ω = 2π · N / 60

Une question qui donne des kW et des tr/min commence donc par T = P/ω, avec P en watts.

Auto-évaluation Un arbre tourne à ω = 100 rad/s et transmet 5 kW. Quel couple supporte-t-il ?
  1. 0,05 N·m
  2. 20 N·m
  3. 50 N·m
  4. 500 000 N·m

Réponse: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m. 0,05 vient de l’emploi de 5 au lieu de 5000 W ; 20 divise ω par P.

4La méthode pas à pas

  1. Si la puissance et la vitesse sont données, trouvez d’abord le couple : ω = 2πN/60, puis T = P/ω.
  2. Convertissez en N et mm : T en N·mm (N·m × 1000), L en mm, G en MPa (GPa × 1000).
  3. Trouvez J : π·d⁴/32 pour un arbre plein, π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux.
  4. Contrainte de cisaillement : τmax = T·r/J avec r le rayon extérieur.
  5. Torsion : φ = TL/(GJ) en radians, puis × 180/π si des degrés sont demandés.

Pour une question de dimensionnement (trouver d), écrivez τmax = 16T/(πd³) égale à la contrainte admissible et résolvez pour d.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Un arbre plein en acier (G = 80 GPa) de diamètre 40 mm et de longueur 1 m est encastré à une extrémité. Un couple de 500 N·m agit sur l’extrémité libre. Trouvez τmax et l’angle de torsion φ en degrés.

1

Observez l’arbre et convertissez les unités

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mφ

T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm.

2

Moment quadratique polaire

J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3

Contrainte de cisaillement maximale

τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39,8 MPa

La formule courte donne la même chose : 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39,8 MPa.

4

Angle de torsion en radians

φ = T·L / (G·J) = 500 000 · 1000 / (80 000 · 251 327) = 0,0249 rad
5

Convertissez en degrés

φ = 0,0249 · 180 / π = 1,42°

Un peu moins d’un degré et demi sur un mètre d’arbre en acier est un ordre de grandeur raisonnable.

Réponse

τmax = 39,8 MPa et φ = 1,42°.

6Erreurs fréquentes

  • Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans τ = T·r/J. Cela double la contrainte.
  • Oublier de convertir les N·m en N·mm, ce qui rend la contrainte 1000 fois trop petite.
  • Utiliser directement les tr/min dans P = T·ω. Convertissez d’abord en rad/s avec ω = 2πN/60.
  • Donner φ en radians quand des degrés sont demandés, ou l’inverse.
  • Pour un arbre creux : soustraire les diamètres avant d’élever à la puissance quatre. Utilisez do⁴ − di⁴.
Auto-évaluation Un arbre creux de diamètre extérieur 40 mm a J = 200 000 mm⁴. Il supporte T = 1000 N·m. Que vaut τmax ?
  1. 0,1 MPa
  2. 100 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

Réponse: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa. Utiliser r = 40 mm (le diamètre) donne 200 MPa ; laisser T en N·m donne 0,1 MPa ; oublier r donne 5.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : contrainte de cisaillement. Un arbre plein de diamètre d supporte T ; trouvez τmax. Des variantes demandent la contrainte à un rayon donné ou le couple admissible.
  • Moyen : angle de torsion. On vous donne aussi L et G ; trouvez φ en degrés. Des variantes utilisent un arbre creux ou étagé.
  • Difficile : transmission de puissance. La puissance en kW et la vitesse en tr/min sont données ; trouvez le couple, puis τmax dans un arbre creux ou le plus petit diamètre pour une contrainte admissible.

Écrivez le couple en N·mm à côté du problème avant toute autre chose. C’est le nombre que toutes les étapes suivantes utilisent.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
d = 40 mmT = 750 N·m

Un arbre plein de diamètre 40 mm transmet un couple de 750 N·m. Trouvez la contrainte de cisaillement τρ à un rayon de 15 mm du centre.

T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm

Calculer τρ (MPa)

Afficher les indices
  1. Dans un arbre circulaire, la contrainte de cisaillement est proportionnelle à la distance au centre : τ = T·ρ/J.
  2. Travaillez en N et mm partout : T en N·mm, L en mm, G en MPa (GPa × 1000), J en mm⁴.
  3. J = 251327 mm⁴.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Contrainte de cisaillement à ρ

Pour comparaison, à la surface τmax = 59,68 MPa.

T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44,76 MPa

Réponse

τρ = 44,76 MPa
Exemple 2Moyen
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

Calculer φ (°)

Afficher les indices
  1. Utilisez φ = TL/(GJ), qui donne des radians.
  2. Travaillez en N et mm partout : T en N·mm, L en mm, G en MPa (GPa × 1000), J en mm⁴.
  3. J = 251327 mm⁴.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Réponse

φ = 6,576°
Exemple 3Difficile
Td = ?

Un arbre plein doit transmettre 15 kW à 1000 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 75 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa

Calculer d (mm)

Afficher les indices
  1. Couple à partir de la puissance : T = P/ω avec ω = 2πN/60 en rad/s.
  2. Égalez τmax = 16T/(πd³) à la contrainte admissible et isolez d.
  3. T = 143,2 N·m.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm

Réponse

d = 21,35 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

Questions et réponses

Torsion des arbres : de quoi s’agit-il ?

Un arbre est une tige tournante qui transmet un effort de rotation : l’arbre de transmission d’une voiture, la broche d’une perceuse, l’essieu d’une pompe.

L’effort de rotation est le couple T. C’est une force multipliée par le bras de levier sur lequel elle agit, en N·m. Pousser avec 200 N à l’extrémité d’une clé de 0,5 m donne T = 200 · 0,5 = 100 N·m.

Torsion des arbres : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
  2. Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
  3. Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
  4. Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.
Torsion des arbres : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans τ = T·r/J.
  • Oublier de convertir les tr/min (rpm) en rad/s.
  • Donner l’angle de torsion en radians alors qu’il est demandé en degrés.
Torsion des arbres : que couvrent les exercices ?
  • Facile: contrainte de cisaillement
  • Moyen: angle de torsion
  • Difficile: transmission de puissance

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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