Frottement en conduite et pertes de charge : exercices corrigés pas à pas

Exercices gratuits sur Frottement en conduite et pertes de charge avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : Nombre de Reynolds, perte de charge de Darcy–Weisbach, pertes singulières et charge totale.

Exercice gratuitFacile
V = 0,8 m/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

De l’eau à 10 °C (ν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s) s’écoule à une vitesse moyenne de 0,8 m/s dans une conduite de diamètre intérieur 50 mm. Trouvez le nombre de Reynolds Re.

V = 0,8 m/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s
Exercice suivant →
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Ce que vous travaillez

  1. FacileNombre de Reynolds
  2. Moyenperte de charge de Darcy–Weisbach
  3. Difficilepertes singulières et charge totale

Formules clés

Nombre de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régime d’écoulement
laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières
hm = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K
entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression
Δp = ρ·g·hf
Deux réservoirs à l’air libre
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Apprendre Frottement en conduite et pertes de charge depuis zéro

Avant cela : Continuité et Bernoulli

1Ce qu’est la perte de charge

L’équation de Bernoulli suppose que le fluide s’écoule sans frottement. Dans un tuyau réel, l’eau frotte contre la paroi et contre elle-même, et une partie de son énergie se transforme en chaleur.

Les ingénieurs mesurent cette énergie perdue sous la forme d’une hauteur de fluide, appelée perte de charge, en mètres. Une perte de charge de 3 m signifie que l’eau a perdu autant d’énergie qu’il lui en faudrait pour monter de 3 m.

On peut le voir avec deux tubes fins (piézomètres) placés sur un tuyau horizontal. L’eau monte moins haut dans le tube en aval. La différence est la perte de charge entre les deux.

hf​VLD

La perte de charge explique pourquoi les longues canalisations ont besoin de pompes, et pourquoi un tuyau d’arrosage donne un jet plus faible quand il est très long.

Une perte de charge se convertit en chute de pression avec Δp = ρ · g · hf. Pour l’eau, 1 m de charge vaut environ 9,81 kPa.

Auto-évaluation L’eau perd 2 m de charge par frottement le long d’un tuyau horizontal. Quelle chute de pression cela représente-t-il ? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
  1. 19,6 kPa
  2. 196 kPa
  3. 2 kPa
  4. 9,81 kPa

Réponse: 19,6 kPa. Δp = ρ · g · hf = 1000 · 9,81 · 2 = 19 620 Pa = 19,6 kPa. Chaque mètre de charge d’eau vaut environ 9,81 kPa.

2Nombre de Reynolds : laminaire ou turbulent

Un écoulement lent dans un tuyau fin se fait en couches lisses. C’est un écoulement laminaire. Un écoulement rapide dans un tuyau large tourbillonne et se mélange. C’est un écoulement turbulent.

Le nombre de Reynolds indique de quel cas il s’agit. Il compare la poussée du fluide en mouvement à sa viscosité :

Re = V · D / ν = ρ · V · D / μ
  • V : la vitesse moyenne en m/s, V = Q/A.
  • D : le diamètre intérieur en m.
  • ν : la viscosité cinématique en m²/s (environ 1,0 × 10⁻⁶ m²/s pour l’eau à 20 °C), ou μ : la viscosité dynamique en Pa·s, utilisée avec la masse volumique ρ.

Re n’a pas d’unité. En dessous d’environ 2000, l’écoulement est laminaire. Au-dessus d’environ 4000, il est turbulent. La plupart des tuyaux d’eau sont en régime turbulent.

Auto-évaluation De l’eau (ν = 1,0 × 10⁻⁶ m²/s) s’écoule à 0,5 m/s dans un tuyau de 20 mm de diamètre intérieur. Quel est le nombre de Reynolds ?
  1. 0,01
  2. 10 000 000
  3. 10 000
  4. 5000

Réponse: 10 000. Re = 0,5 · 0,020 / 10⁻⁶ = 10 000, donc l’écoulement est turbulent. Utiliser le diamètre en mm donne 10 000 000, et utiliser le rayon donne 5000.

3Perte par frottement et pertes singulières

La perte par frottement le long d’un tuyau droit est donnée par l’équation de Darcy–Weisbach :

hf = f · (L / D) · V² / (2g)

Ici, f est le coefficient de frottement de Darcy (donné dans la question, typiquement 0,015 à 0,03) et L est la longueur du tuyau. Le terme V²/(2g) est la hauteur cinétique (charge dynamique).

La perte croît avec le carré de la vitesse. Doubler le débit dans le même tuyau donne une perte par frottement quatre fois plus grande.

Les accessoires comme les coudes, les vannes, l’entrée depuis un réservoir et la sortie vers un réservoir provoquent des pertes singulières supplémentaires. Chacun a un coefficient de perte K :

hm = ΣK · V² / (2g)

Valeurs typiques : une entrée à arêtes vives K = 0,5, un coude à 90° environ 0,3, la sortie vers un réservoir K = 1,0. La perte totale est hL = hf + hm.

Auto-évaluation Le débit dans un tuyau double. Par quel facteur la perte de charge par frottement change-t-elle, si f reste le même ?
  1. 2
  2. 4
  3. 8
  4. ½

Réponse: 4. Un débit double signifie une vitesse double, et hf dépend de V². La perte est donc 2² = 4 fois plus grande.

4La méthode pas à pas

  1. Convertissez les unités : diamètres en m, débits en m³/s (L/s ÷ 1000).
  2. Calculez l’aire A = π·D²/4 et la vitesse moyenne V = Q/A.
  3. Calculez la hauteur cinétique V²/(2g). Presque toutes les formules de ce thème l’utilisent.
  4. Pour le régime, calculez Re = V·D/ν. Pour la perte par frottement, hf = f·(L/D)·V²/(2g).
  5. Ajoutez les pertes singulières avec ΣK·V²/(2g). Convertissez en chute de pression avec Δp = ρ·g·h si on le demande.

L/D est souvent un grand nombre (1000 ou plus). Calculez-le d’abord seul pour vérifier qu’il est raisonnable.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

De l’eau s’écoule à 10 L/s dans un tuyau de 200 m de long et de 100 mm de diamètre intérieur. Utilisez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement et la chute de pression.

1

Dessiner et convertir

hf​ = ?V200 m100 mm

Q = 10 L/s = 0,010 m³/s et D = 0,100 m.

2

Vitesse moyenne

A = π · 0,1² / 4 = 0,007854 m²
V = Q / A = 0,010 / 0,007854 = 1,273 m/s
3

Hauteur cinétique et L/D

V² / (2g) = 1,273² / 19,62 = 0,0826 m
L / D = 200 / 0,1 = 2000
4

Darcy–Weisbach

hf = 0,02 · 2000 · 0,0826 = 3,31 m
5

Chute de pression

Sur un tuyau horizontal, la charge perdue apparaît sous la forme d’une chute de pression :

Δp = 1000 · 9,81 · 3,305 = 32 400 Pa ≈ 32,4 kPa
6

Vérifiez la réponse

Re = 1,273 · 0,1 / 10⁻⁶ ≈ 127 000, donc l’écoulement est turbulent et un coefficient de frottement constant de 0,02 est raisonnable.

Environ 1,7 m de perte par 100 m de tuyau est un ordre de grandeur normal pour de l’eau à environ 1 m/s.

Réponse

hf ≈ 3,31 m, ce qui correspond à une chute de pression d’environ 32,4 kPa.

6Erreurs fréquentes

  • Oublier le 2g, ou le carré sur V, dans la hauteur cinétique V²/(2g).
  • Laisser le diamètre en mm, ce qui rend L/D mille fois trop petit.
  • Utiliser le débit Q à la place de la vitesse V. Convertissez d’abord avec V = Q/A.
  • Compter deux fois la perte de sortie (K = 1,0) : une fois comme perte singulière et une fois comme hauteur cinétique d’un jet dans un réservoir.
  • Donner une charge en mètres alors qu’on demande une pression, ou l’inverse.
Auto-évaluation De l’eau s’écoule à 1 m/s dans un tuyau de 100 m de long et de 100 mm de diamètre intérieur, avec f = 0,02. Quelle est la perte de charge par frottement ? (g = 9,81 m/s²)
  1. 0,00102 m
  2. 1,02 m
  3. 2,04 m
  4. 20 m

Réponse: 1,02 m. hf = 0,02 · (100/0,1) · 1²/19,62 = 1,02 m. Diviser par g au lieu de 2g donne 2,04 m, omettre le 2g donne 20 m, et D en mm donne 0,00102 m.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : le nombre de Reynolds. À partir de la vitesse ou du débit, du diamètre et de la viscosité (ν, ou ρ et μ), trouvez Re et dites si l’écoulement est laminaire ou turbulent.
  • Moyen : Darcy–Weisbach. Trouvez la perte de charge par frottement hf ou la chute de pression Δp pour un tuyau, un débit et un coefficient de frottement donnés.
  • Difficile : pertes singulières et charge totale. Un tuyau partant d’un réservoir avec une entrée, des coudes et une vanne. Trouvez la hauteur de réservoir nécessaire pour un débit, ou le débit entre deux réservoirs.

Pour un tuyau partant d’un réservoir et se terminant par un jet libre, le jet emporte encore sa hauteur cinétique : H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g).

Entre deux réservoirs ouverts, la différence de hauteur est entièrement consommée par les pertes : Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g), avec la sortie K = 1,0 dans ΣK. Résolvez pour V, puis Q = A·V.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
Q = 5 L/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

De l’eau à 10 °C (ν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s) s’écoule dans une conduite de diamètre intérieur 50 mm avec un débit de 5 L/s. Trouvez le nombre de Reynolds Re.

Q = 5 L/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Calculer Re

Afficher les indices
  1. Trouvez d’abord la vitesse moyenne : V = Q/A avec A = π·D²/4.
  2. Puis Re = V·D/ν.
  3. A = 0,001963 m², V = 2,546 m/s.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse moyenne

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,005/0,001963 = 2,546 m/s

Nombre de Reynolds

Re = V·D/ν = 2,546·0,05/(1,31 × 10⁻⁶) = 97194

Réponse

Re = 97194

Re est supérieur à 4000, l’écoulement est donc turbulent.

Exemple 2Moyen
V = 1,1 m/sD = 100 mmL = 400 mf = 0,015

De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 1,1 m/s dans une conduite de 400 m de long et de diamètre intérieur 100 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.

V = 1,1 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

Calculer hf (m)

Afficher les indices
  1. Darcy–Weisbach : hf = f·(L/D)·V²/(2g).
  2. Exprimez D en mètres : D = 0,1 m.
  3. L/D = 4000, V²/(2g) = 0,06167 m.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Hauteur cinétique

V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,1)·1,1²/(2·9,81) = 3,7 m

Réponse

hf = 3,7 m
Exemple 3Difficile
K = 2sortie libreH = ?L = 150 m, D = 300 mm, f = 0,0223× coude (K = 0,3)

Une conduite de 150 m de long et de diamètre intérieur 300 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,022) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 3 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 2). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 200 L/s ?

Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2

Calculer H (m)

Afficher les indices
  1. Équation de l’énergie entre la surface du réservoir (au repos) et la sortie (pression atmosphérique, vitesse V).
  2. H = V²/(2g) + (f·L/D + ΣK)·V²/(2g).
  3. V = 2,829 m/s, V²/(2g) = 0,408 m.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Vitesse

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Coefficients de perte de charge

f·L/D = 0,022·150/0,3 = 11
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Équation de l’énergie

Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.

H = (1 + 11 + 3,4)·0,408 = 6,284 m

Réponse

H = 6,284 m

Questions et réponses

Frottement en conduite et pertes de charge : de quoi s’agit-il ?

L’équation de Bernoulli suppose que le fluide s’écoule sans frottement. Dans un tuyau réel, l’eau frotte contre la paroi et contre elle-même, et une partie de son énergie se transforme en chaleur.

Les ingénieurs mesurent cette énergie perdue sous la forme d’une hauteur de fluide, appelée perte de charge, en mètres. Une perte de charge de 3 m signifie que l’eau a perdu autant d’énergie qu’il lui en faudrait pour monter de 3 m.

Frottement en conduite et pertes de charge : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.

Frottement en conduite et pertes de charge : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • La section d’écoulement d’une conduite vaut A = π·D²/4, pas π·D².
  • π·D²/4 utilise le diamètre. Utiliser le rayon dans cette formule rend la section quatre fois trop petite.
  • Convertissez d’abord les L/s en m³/s : 1 L/s = 0,001 m³/s.
Frottement en conduite et pertes de charge : que couvrent les exercices ?
  • Facile: Nombre de Reynolds
  • Moyen: perte de charge de Darcy–Weisbach
  • Difficile: pertes singulières et charge totale

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

À voir d’abord

Continuité et Bernoulli

Ensuite

Pompes et puissance de pompage

Calculatrices

Calculatrice de perte de charge en conduite (Darcy–Weisbach)Calculatrice du nombre de Reynolds

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Fiche d’exercices de Frottement en conduite et pertes de charge avec corrigé
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