Mouvement d’un projectile : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : mouvement parabolique · trajectoire parabolique
Exercices gratuits sur Mouvement d’un projectile avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : tir horizontal, tir depuis le sol, tir depuis une hauteur.
Exercice gratuitFacile
Une pierre est lancée horizontalement du haut d’un mur de 20 m et retombe à 22 m du pied du mur. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse de lancement v0.
Un projectile est un objet qui vole dans l’air avec pour seule force la pesanteur. Un ballon botté, une pierre lancée d’un pont et l’eau d’un tuyau d’arrosage sont tous des projectiles.
Dans ce thème, on ignore la résistance de l’air. La trajectoire est alors toujours une courbe régulière appelée parabole.
L’idée clé : le mouvement se décompose en deux parties indépendantes. Horizontalement, rien ne pousse ni ne ralentit l’objet. Verticalement, la pesanteur l’attire avec g = 9,81 m/s².
Donc la vitesse horizontale reste la même tout le temps, tandis que la vitesse verticale change à chaque seconde. Les deux parties n’ont qu’une seule chose en commun : le temps.
Auto-évaluation Une balle vole dans l’air sans résistance de l’air. Quelle grandeur reste constante pendant le vol ?
La hauteur
La vitesse horizontale
La vitesse totale
La vitesse verticale
Réponse: La vitesse horizontale. Aucune force n’agit horizontalement, donc la vitesse horizontale ne change jamais. La pesanteur modifie la vitesse verticale, et avec elle la vitesse totale et la hauteur.
2Deux mouvements, une seule horloge
Placez l’origine au point de lancement, avec x à l’horizontale et y à la verticale (le haut est positif). Après un temps t :
x = vx · t
y = h + vy · t − ½ · g · t²
Ici h est la hauteur de lancement au-dessus du sol, vx la vitesse horizontale et vy la vitesse verticale initiale.
La balle touche le sol quand y = 0. Vous résolvez l’équation verticale pour trouver ce temps, puis vous reportez le même temps dans l’équation horizontale.
Pour un lancement horizontal, vy = 0. L’équation verticale devient h = ½ · g · t², donc le temps de chute est :
t = √(2h / g)
Ce temps de chute ne dépend pas du tout de la vitesse horizontale.
Auto-évaluation Avec la même table, la balle A roule du bord à 1 m/s et la balle B à 3 m/s. Laquelle atterrit en premier ?
Cela dépend de leurs masses
Elles atterrissent en même temps
La balle A
La balle B
Réponse: Elles atterrissent en même temps. Les deux partent avec une vitesse verticale nulle et tombent de la même hauteur, donc t = √(2h/g) est le même. La balle B atterrit simplement plus loin.
3Lancement avec un angle
Quand la balle est lancée à une vitesse v0 et sous un angle θ au-dessus de l’horizontale, décomposez d’abord la vitesse en ses deux parties, les composantes :
vx = v0 · cos θ vy = v0 · sin θ
Depuis un sol plat, la balle monte jusqu’à ce que sa vitesse verticale soit nulle, puis retombe. La montée et la descente durent le même temps. On obtient trois résultats utiles :
ttop = vy / g t = 2 · vy / g
H = vy² / (2g) R = v0² · sin 2θ / g
La formule de la portée R n’est valable que si la balle retombe à la même hauteur que celle du lancement.
Auto-évaluation Une balle est lancée à 20 m/s sous un angle de 30° au-dessus de l’horizontale. Quelles sont les composantes de sa vitesse ?
vx = 10 m/s et vy = 10 m/s
vx = 10 m/s et vy = 17,3 m/s
vx = 17,3 m/s et vy = 10 m/s
vx = 20 m/s et vy = 20 m/s
Réponse: vx = 17,3 m/s et vy = 10 m/s. vx = 20 · cos 30° = 17,3 m/s et vy = 20 · sin 30° = 10 m/s. Les intervertir revient à utiliser sin pour la partie horizontale, la confusion classique.
4La méthode pas à pas
Dessinez la trajectoire. Notez la hauteur de lancement h, la vitesse de lancement v0, l’angle θ et ce que vous cherchez.
Décomposez la vitesse de lancement en composantes : vx = v0 · cos θ et vy = v0 · sin θ. Un lancement horizontal a vy = 0.
Utilisez le mouvement vertical pour trouver le temps de vol : posez y = 0 dans y = h + vy·t − ½·g·t² et résolvez pour t.
Utilisez ce temps dans le mouvement horizontal : x = vx · t.
Pour la vitesse à un instant donné, combinez les composantes : v = √(vx² + (vy − g·t)²).
Vérifiez que votre calculatrice est en degrés avant de calculer sin ou cos d’un angle donné en degrés.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Une balle est lancée horizontalement à 12 m/s depuis le sommet d’une falaise de 45 m. Ignorez la résistance de l’air et utilisez g = 9,81 m/s². À quelle distance du pied de la falaise retombe-t-elle ?
1
Dessiner la situation
Le lancement est horizontal, donc vx = 12 m/s et vy = 0. La balle doit tomber de h = 45 m.
2
Trouver le temps de vol
Le mouvement vertical est une chute sans vitesse initiale sur 45 m :
t = √(2h / g) = √(2 · 45 / 9,81) = √9,174 = 3,03 s
3
Utiliser le temps horizontalement
Pendant ces 3,03 s, la balle continue de se déplacer horizontalement à 12 m/s :
x = vx · t = 12 · 3,029 = 36,3 m
4
Vérifiez la réponse
Reportez le temps dans le mouvement vertical : ½ · 9,81 · 3,029² = 45,0 m. C’est exactement la hauteur de la falaise, donc le temps est correct.
Une distance d’environ 36 m pour un lancer à 12 m/s pendant 3 s est aussi d’un ordre de grandeur raisonnable.
5
Aller plus loin : la vitesse à l’impact
Juste avant l’atterrissage, vy = g · t = 9,81 · 3,029 = 29,7 m/s vers le bas, tandis que vx vaut toujours 12 m/s.
v = √(12² + 29,7²) = 32,0 m/s
Réponse
La balle retombe à x ≈ 36,3 m du pied de la falaise, après 3,03 s.
6Erreurs fréquentes
Utiliser la vitesse totale v0 là où une composante est nécessaire. Le temps de vol vient de vy seule, la portée de vx seule.
Confondre sin et cos. La composante horizontale va avec cos θ quand θ est mesuré à partir de l’horizontale.
Une calculatrice en radians alors que l’angle est en degrés.
Utiliser R = v0² · sin 2θ / g quand la balle retombe plus bas ou plus haut qu’au départ. Il faut alors résoudre l’équation verticale.
Donner une accélération au mouvement horizontal. Horizontalement, la vitesse est constante.
Auto-évaluation Un ballon est botté depuis un sol plat à 20 m/s sous un angle de 30° au-dessus de l’horizontale. Combien de temps reste-t-il en l’air ? (g = 9,81 m/s²)
1,02 s
2,04 s
3,53 s
4,08 s
Réponse: 2,04 s. vy = 20 · sin 30° = 10 m/s, donc t = 2 · 10 / 9,81 = 2,04 s. Utiliser les 20 m/s entiers donne 4,08 s, et 1,02 s n’est que le temps pour atteindre le point le plus haut.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : un lancement horizontal depuis une falaise ou un mur. Trouvez le temps de vol, la distance d’atterrissage, la vitesse de lancement à partir d’une distance d’atterrissage donnée, ou la vitesse à l’impact. Certaines questions faciles demandent le temps pour atteindre le point le plus haut d’un lancement depuis le sol.
Moyen : un lancement depuis un sol plat sous un angle. Trouvez le temps de vol, la hauteur maximale ou la portée. Des variantes demandent la vitesse ou l’angle de lancement donnant une certaine portée, ou la hauteur à laquelle la balle passe un mur.
Difficile : un lancement sous un angle depuis le sommet d’une falaise, ou un atterrissage sur un toit. Poser y = 0 (ou la hauteur du toit) donne une équation du second degré en t : prenez la racine positive.
Dans le cas difficile, l’angle d’arrivée sous l’horizontale se déduit des composantes finales : tan α = |vy − g·t| / vx.
Une balle est lancée horizontalement du haut d’une falaise de 55 m. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la distance horizontale x parcourue avant que la balle touche le sol.
v0 = 10 m/sθ = 0°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Calculer x(m)
Afficher les indices
Traitez séparément les mouvements horizontal et vertical. Ils n’ont en commun que le temps t.
La balle atterrit quand sa hauteur y(t) atteint 0. Écrivez y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 0 m/s, et le vol dure 3,349 s.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Décomposer la vitesse de lancement
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
vx = v0·cos θ = 10·cos 0° = 10 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 0° = 0 m/s
Durée du vol
Résolvez y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 et prenez la racine positive.
t = √(2h/g) = √(2·55/9,81) = 3,349 s
Distance horizontale
x = vx·t = 10·3,349 = 33,49 m
Réponse
x = 33,49 m
Exemple 2Moyen
Une balle est lancée à 60° au-dessus de l’horizontale depuis un sol plat. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la durée du vol t jusqu’à ce que la balle touche le sol.
v0 = 26 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²
Calculer t(s)
Afficher les indices
Traitez séparément les mouvements horizontal et vertical. Ils n’ont en commun que le temps t.
Par symétrie, la durée de montée égale la durée de descente.
vy = 22,52 m/s.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Décomposer la vitesse de lancement
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
vx = v0·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 60° = 22,52 m/s
Durée du vol
Départ et arrivée à la même hauteur : t = 2vy/g.
t = 2·22,52/9,81 = 4,591 s
Réponse
t = 4,591 s
Exemple 3Difficile
Une balle est lancée à 25° au-dessus de l’horizontale du haut d’une falaise de 55 m. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la durée du vol t jusqu’à ce que la balle touche le sol.
v0 = 33 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Calculer t(s)
Afficher les indices
Traitez séparément les mouvements horizontal et vertical. Ils n’ont en commun que le temps t.
La balle atterrit quand sa hauteur y(t) atteint 0. Écrivez y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 13,95 m/s.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Décomposer la vitesse de lancement
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
vx = v0·cos θ = 33·cos 25° = 29,91 m/s
vy = v0·sin θ = 33·sin 25° = 13,95 m/s
Durée du vol
Résolvez y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 et prenez la racine positive.
0 = 55 + 13,95·t − 4,905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (13,95 + √(194,5 + 1079))/9,81 = 5,06 s
Réponse
t = 5,06 s
Questions et réponses
Mouvement d’un projectile : de quoi s’agit-il ?
Un projectile est un objet qui vole dans l’air avec pour seule force la pesanteur. Un ballon botté, une pierre lancée d’un pont et l’eau d’un tuyau d’arrosage sont tous des projectiles.
Dans ce thème, on ignore la résistance de l’air. La trajectoire est alors toujours une courbe régulière appelée parabole.
Mouvement d’un projectile : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Décomposez la vitesse initiale : vx = v₀·cos θ et vy = v₀·sin θ.
Le mouvement horizontal est à vitesse constante ; le mouvement vertical a une accélération −g.
Trouvez la durée du vol à partir du mouvement vertical.
Utilisez cette durée dans le mouvement horizontal pour trouver la portée.
Mouvement d’un projectile : quelles sont les erreurs fréquentes ?
Utiliser v₀ au lieu d’une composante.
Calculatrice en radians alors que l’angle est en degrés.
Utiliser la formule de portée v₀²·sin 2θ/g alors que les hauteurs de départ et d’arrivée diffèrent.
Mouvement d’un projectile : que couvrent les exercices ?
Facile: tir horizontal
Moyen: tir depuis le sol
Difficile: tir depuis une hauteur
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.