Contrainte et déformation axiales : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : traction compression · loi de Hooke · allongement

Exercices gratuits sur Contrainte et déformation axiales avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : contrainte normale, déformation et allongement, barre étagée.

Exercice gratuitFacile
80 kNØ30100 GPaØ100/50800 mmσr​ = ?

Une tige en acier (diamètre 30 mm, E = 200 GPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en laiton (diamètre extérieur 100 mm, diamètre intérieur 50 mm, E = 100 GPa). Les deux mesurent 800 mm de long et sont comprimés ensemble entre des plaques rigides par 80 kN. Trouvez la contrainte de compression σr dans la tige.

P = 80 kNbarre: Ø30 mm, E = 200 GPatube: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
MPa
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Ce que vous travaillez

  1. Facilecontrainte normale
  2. Moyendéformation et allongement
  3. Difficilebarre étagée

Formules clés

Contrainte normale
σ = F/A
Déformation
ε = ΔL/L
Loi de Hooke
σ = E·ε
Allongement
ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique
εT = α·ΔT

Apprendre Contrainte et déformation axiales depuis zéro

1Ce qu’est la contrainte

Tirez sur une tige d’acier et elle résiste. Qu’elle casse ou non ne dépend pas de la seule force, mais de la quantité de matière qui se partage cette force.

Un fil fin et un câble épais peuvent supporter la même charge. Le fil fin a bien plus de risques de céder, car chaque millimètre carré en supporte davantage.

dLP

La contrainte normale σ (sigma) est la force par unité d’aire de la section. La force P agit selon l’axe de la barre, c’est pourquoi on parle de charge axiale.

σ = P / A

Les ingénieurs travaillent en newtons et en millimètres. Un newton par millimètre carré est un mégapascal :

1 N/mm² = 1 MPa

Convertissez donc d’abord les kN en N (× 1000). Pour une barre ronde de diamètre d, l’aire est celle d’un disque :

A = π · d² / 4
Auto-évaluation Une barre de section 100 mm² supporte 10 kN. Quelle est la contrainte ?
  1. 0,1 MPa
  2. 10 MPa
  3. 100 MPa
  4. 1000 MPa

Réponse: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. 0,1 MPa vient de l’oubli de convertir les kN en N.

2Déformation et loi de Hooke

Sous la charge, la barre s’allonge aussi un peu. Cette variation de longueur est l’allongement δ (delta).

dLδP

La déformation ε (epsilon) est l’allongement divisé par la longueur initiale. Elle n’a pas d’unité, car c’est des mm par mm :

ε = δ / L

Les déformations des métaux sont minuscules, on les donne donc souvent en microdéformations : 1 µε = 10⁻⁶. Une déformation de 0,0008 vaut 800 µε.

Pour la plupart des matériaux, la contrainte et la déformation sont proportionnelles tant que la charge n’est pas trop grande. C’est la loi de Hooke :

σ = E · ε

E est le module de Young, la rigidité du matériau. L’acier a E ≈ 200 GPa, l’aluminium environ 70 GPa. Comme 1 GPa = 1000 MPa, l’acier a E = 200 000 MPa.

En combinant les trois formules, on obtient directement l’allongement :

δ = P · L / (A · E)
Auto-évaluation Une barre en acier (E = 200 GPa) subit une contrainte de 200 MPa. Quelle est la déformation ?
  1. 0,001
  2. 0,1
  3. 1000
  4. 1

Réponse: 0,001. Convertissez E en MPa : 200 GPa = 200 000 MPa. Alors ε = 200/200 000 = 0,001 = 1000 µε. Diviser 200 par 200 sans convertir donne 1, ce qui est beaucoup trop grand.

3La méthode pas à pas

  1. Écrivez toutes les valeurs en N et en mm : P en N (kN × 1000), les longueurs en mm (m × 1000), E en MPa (GPa × 1000).
  2. Trouvez l’aire : A = π·d²/4 pour une barre ronde.
  3. Trouvez la contrainte : σ = P/A, en MPa.
  4. Trouvez la déformation : ε = σ/E. Multipliez par 10⁶ si la réponse est demandée en µε.
  5. Trouvez l’allongement : δ = ε·L, en mm.

Arrêtez-vous à l’étape que demande la question. La plupart des questions n’utilisent que les deux ou trois premières étapes.

4Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Une barre en acier (E = 200 GPa) a un diamètre de 20 mm et une longueur de 2 m. Elle supporte une charge de traction axiale de 50 kN. Trouvez la contrainte, la déformation et l’allongement.

1

Observez la barre et convertissez les unités

Ø 20 mm2 mP = 50 kN

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm et E = 200 GPa = 200 000 MPa.

2

Surface

A = π · 20² / 4 = 314,2 mm²
3

Contrainte

σ = P / A = 50 000 / 314,2 = 159,2 MPa

C’est bien en dessous de la résistance d’un acier ordinaire (environ 250 MPa), donc la loi de Hooke s’applique.

4

Déformation

ε = σ / E = 159,2 / 200 000 = 0,000796 = 796 µε
5

Allongement

δ = ε · L = 0,000796 · 2000 = 1,59 mm
6

Vérifiez la réponse

Utilisez la formule combinée comme seconde méthode :

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314,2 · 200 000) = 1,59 mm

Une barre d’acier de 2 m qui s’allonge d’environ 1,6 mm est réaliste : les déformations de l’acier restent bien inférieures à 0,2 %.

Réponse

σ = 159,2 MPa, ε = 796 µε et δ = 1,59 mm.

5Barres à plusieurs tronçons

Une barre étagée est faite de tronçons de diamètres différents, et parfois de matériaux différents.

A1​L1​A2​L2​P

Coupez la barre n’importe où et regardez la partie à droite de la coupe. Seule P la tire, donc chaque tronçon supporte la même force P.

Les aires diffèrent, donc les contraintes diffèrent. Le tronçon le plus mince a la plus grande contrainte.

Chaque tronçon s’allonge par lui-même, avec son propre A, L et E. L’allongement total est la somme :

δ = P·L1 / (A1·E1) + P·L2 / (A2·E2)
Auto-évaluation Une barre étagée supporte 20 kN. Le tronçon 1 a A = 400 mm², le tronçon 2 a A = 100 mm². Quelle est la plus grande contrainte dans la barre ?
  1. 200 MPa
  2. 250 MPa
  3. 40 MPa
  4. 50 MPa

Réponse: 200 MPa. Les deux tronçons supportent 20 kN. Le mince a 20 000/100 = 200 MPa. 50 MPa est le tronçon épais, 40 MPa additionne à tort les aires, et 250 MPa additionne à tort les deux contraintes.

6Erreurs fréquentes

  • Oublier de convertir les kN en N, ce qui rend la contrainte 1000 fois trop petite.
  • Utiliser E en GPa à côté d’une contrainte en MPa. Écrivez E en MPa (GPa × 1000).
  • Utiliser π·d² ou π·d au lieu de π·d²/4 pour l’aire d’un disque.
  • Laisser L en mètres alors que δ doit sortir en millimètres.
  • Répartir P entre les tronçons d’une barre étagée. Chaque tronçon supporte la totalité de P.
Auto-évaluation Une barre avec A = 30 mm² supporte P = 6 kN. Quelle est la contrainte ?
  1. 0,2 MPa
  2. 180 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

Réponse: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. 0,2 MPa utilise 6 au lieu de 6000 N ; 5 MPa divise l’aire par la force ; 180 les multiplie.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : contrainte normale. Une barre ronde de diamètre d supporte P ; trouvez σ = P/A.
  • Moyen : déformation et allongement. On vous donne aussi L et le E du matériau ; trouvez ε (en µε) ou δ (en mm).
  • Difficile : une barre étagée à deux tronçons, éventuellement de matériaux différents. Trouvez l’allongement total ou la plus grande contrainte.

Écrivez les unités à côté de chaque nombre. Presque toutes les mauvaises réponses dans ce thème sont fausses d’un facteur 1000.

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Exemples corrigés

Exemple 1Facile
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

Une tige en acier (diamètre 30 mm, E = 200 GPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en cuivre (diamètre extérieur 100 mm, diamètre intérieur 50 mm, E = 120 GPa). Les deux mesurent 500 mm de long et sont comprimés ensemble entre des plaques rigides par 300 kN. Trouvez la contrainte de compression σr dans la tige.

P = 300 kNbarre: Ø30 mm, E = 200 GPatube: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Calculer σr (MPa)

Afficher les indices
  1. Plaques rigides : la tige et le tube se raccourcissent de la même quantité, donc ε est le même dans les deux.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, Pi = P·EiAi/ΣEA, et σi = Ei·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Déformation commune

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Contrainte dans la tige

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Réponse

σr = 70,74 MPa
Exemple 2Moyen
Ø 20 mmLaiton2,5 mP = 10 kN

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en laiton, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

Calculer ε (µε)

Afficher les indices
  1. Enchaînez trois relations : σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L.
  2. Convertissez E en MPa (GPa × 1000) pour qu’il corresponde à la contrainte en MPa, et L en mm.
  3. σ = 31,83 MPa.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Réponse

ε = 318,3 µε
Exemple 3Difficile
40 kN12300 mm500 mmØ30Ø30σ2​ = ?

Un tronçon en acier (diamètre 30 mm, longueur 300 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en aluminium (diamètre 30 mm, longueur 500 mm, E = 70 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 40 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ2 dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPatronçon 2: aluminium, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

Calculer σ2 (MPa)

Afficher les indices
  1. La jonction se déplace de la même quantité pour les deux tronçons : l’un s’allonge, l’autre se raccourcit.
  2. k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
  3. k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, Pi = P·EiAi/ΣEA, et σi = Ei·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Rigidités

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Part du tronçon 2

F2 = 40000·98960/570199 = 6942 N

Contrainte

σ2 = 6942/706,9 = 9,821 MPa (compression)

Réponse

σ2 = 9,821 MPa

Questions et réponses

Contrainte et déformation axiales : de quoi s’agit-il ?

Tirez sur une tige d’acier et elle résiste. Qu’elle casse ou non ne dépend pas de la seule force, mais de la quantité de matière qui se partage cette force.

Un fil fin et un câble épais peuvent supporter la même charge. Le fil fin a bien plus de risques de céder, car chaque millimètre carré en supporte davantage.

Contrainte et déformation axiales : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, Pi = P·EiAi/ΣEA, et σi = Ei·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Contrainte et déformation axiales : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Les deux matériaux ne se partagent pas la contrainte également : ils se partagent la déformation. Le plus rigide est le plus fortement sollicité.
  • Le tube porte une partie de la charge.
  • C’est la contrainte dans le tube.
Contrainte et déformation axiales : que couvrent les exercices ?
  • Facile: contrainte normale
  • Moyen: déformation et allongement
  • Difficile: barre étagée

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
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  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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