Réactions d’appui des poutres : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : réactions aux appuis · actions de liaison
Exercices gratuits sur Réactions d’appui des poutres avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : 1 charge ponctuelle, 2 charges ponctuelles, charge ponctuelle + répartie.
Exercice gratuitFacile
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RA.
Comment résoudre les exercices de Réactions d’appui des poutres
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Erreurs fréquentes
Mesurer le bras de levier à partir du mauvais point.
Oublier de remplacer une charge répartie par sa résultante.
Confondre quel appui reprend quelle réaction.
Formules clés
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Apprendre Réactions d’appui des poutres depuis zéro
1Ce que sont les réactions d’appui
Une poutre est un élément long et droit qui transmet des charges au-dessus d’un vide, comme une étagère, une solive de plancher ou un petit pont.
La poutre repose sur des appuis. Quand les charges poussent la poutre vers le bas, les appuis la repoussent vers le haut. Ces forces vers le haut sont les réactions d’appui.
Ici, une charge de 10 kN se trouve exactement au milieu. Par symétrie, chaque appui en supporte la moitié : RA = RB = 5 kN.
Quand la charge n’est pas au milieu, l’appui le plus proche en supporte davantage. Trouver exactement combien est le sujet de ce cours.
Il faut d’abord les réactions pour presque toutes les autres questions sur les poutres : effort tranchant, moment fléchissant, contrainte et flèche.
Auto-évaluation Une poutre sur deux appuis porte 10 kN exactement à mi-portée. Quelle est la réaction à chaque appui ?
10 kN
2,5 kN
20 kN
5 kN
Réponse: 5 kN. Les deux réactions ensemble doivent porter la charge entière de 10 kN, et par symétrie elles sont égales : 10/2 = 5 kN. 10 kN à chaque appui porterait la charge deux fois.
2Appuis, moments et équilibre
Chaque type d’appui peut repousser à sa manière.
Un appui à rouleau (B sur la figure) ne peut pousser que perpendiculairement à la surface sur laquelle il roule. Il donne une réaction verticale.
Une articulation (A) empêche la poutre de se déplacer dans toutes les directions. Elle donne une réaction verticale et une réaction horizontale. Avec seulement des charges verticales, la réaction horizontale est nulle.
Un appui encastré, comme un mur, empêche aussi la poutre de tourner. Il donne une force verticale et un moment de réaction.
Un moment est l’effet de rotation d’une force autour d’un point. C’est la force multipliée par sa distance perpendiculaire à ce point :
M = F · d
Une poutre au repos ne se déplace pas et ne tourne pas. Trois équations d’équilibre sont donc vérifiées :
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0
L’équation des moments est valable autour de n’importe quel point. Choisissez un appui comme point : sa réaction a une distance nulle, elle disparaît donc de l’équation.
Auto-évaluation Une force de 6 kN agit à 2 m du point A. Quel est son moment par rapport à A ?
12 kN·m
3 kN·m
6 kN·m
8 kN·m
Réponse: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m. Diviser (3) ou additionner (8) la force et la distance sont les étourderies habituelles.
3Charges réparties
Certaines charges sont réparties le long de la poutre, comme le poids d’un plancher ou de la neige. Une charge uniformément répartie (CUR) a la même valeur w sur chaque mètre, en kN/m.
Pour les réactions, vous pouvez remplacer une CUR par une seule force. Sa valeur est la charge par mètre multipliée par la longueur chargée, et elle s’applique au milieu de la partie chargée :
W = w · ℓ
Sur la figure, ℓ = 3 m, donc W = 4 · 3 = 12 kN. Elle s’applique au milieu de la charge, à x = 1 + 1,5 = 2,5 m de A.
Une console (poutre en porte-à-faux) est encastrée à une seule extrémité, comme un balcon. Le mur donne une force vers le haut et un moment. Pour une charge d’extrémité P à la distance L : RA = P et MA = P·L.
Dans cette console, RA = 5 kN et MA = 5 · 3 = 15 kN·m.
Auto-évaluation Une CUR de 4 kN/m agit de x = 1 m à x = 4 m. Quelle force unique la remplace, et où ?
12 kN en x = 1,5 m
12 kN en x = 2 m
12 kN en x = 2,5 m
4 kN en x = 2,5 m
Réponse: 12 kN en x = 2,5 m. W = 4·3 = 12 kN au milieu de la charge, à 1 + 1,5 = 2,5 m de A. 1,5 m est mesuré depuis le début de la charge, pas depuis A. 2 m est le milieu de la portée entière, pas de la partie chargée.
4La méthode pas à pas
Dessinez la poutre et remplacez chaque appui par ses réactions : RA à l’articulation et RB à l’appui à rouleau.
Remplacez chaque CUR par une force unique w·ℓ au milieu de la partie chargée.
Prenez les moments par rapport à A. RA disparaît, donc vous obtenez directement RB : RB·L = Σ(chaque charge × sa distance à A).
Utilisez ΣFy = 0 : RA = (charge totale) − RB.
Vérification : prenez les moments par rapport à B. Cela doit donner le même RA.
Règle de signe pour l’étape 3 : la réaction RB fait tourner la poutre dans un sens autour de A, les charges vers le bas la font tourner dans l’autre sens. Leurs moments doivent s’équilibrer.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Une poutre sur deux appuis simples, de portée 6 m, porte P1 = 12 kN à 2 m de A et P2 = 6 kN à 4 m de A. Trouvez RA et RB.
1
Dessiner le diagramme des forces
L’articulation en A et l’appui à rouleau en B donnent chacun une réaction vers le haut. Il y a deux inconnues, donc deux équations suffisent.
2
Moments par rapport à A
RA passe par A, donc elle n’a pas de moment par rapport à A. Les charges font tourner la poutre dans le sens horaire, RB la fait tourner dans le sens antihoraire :
RB · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48
RB = 48 / 6 = 8 kN
3
Équilibre des forces verticales
Les deux réactions ensemble portent la charge totale de 12 + 6 = 18 kN.
RA = 18 − 8 = 10 kN
4
Vérifiez la réponse
Prenez plutôt les moments par rapport à B. Les distances à B sont 4 m pour P1 et 2 m pour P2.
RA · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ RA = 10 kN
Les deux méthodes concordent. RA est la plus grande, ce qui est logique : la charge la plus lourde est plus proche de A.
Réponse
RA = 10 kN et RB = 8 kN.
6Erreurs fréquentes
Mesurer une distance depuis le mauvais point. Dans une équation de moments autour de A, toutes les distances sont mesurées depuis A.
Intervertir les réactions. Prendre les moments par rapport à A donne RB, pas RA.
Oublier de transformer une CUR en une force w·ℓ, ou placer cette force au milieu de la portée au lieu du milieu de la charge.
Confondre les sens de rotation, de sorte qu’une charge et une réaction reçoivent le même signe dans l’équation des moments.
Ne pas vérifier. Une seconde équation de moments par rapport à B détecte la plupart des erreurs en quelques secondes.
Auto-évaluation Une poutre de 4 m sur deux appuis porte 8 kN à 1 m de A. Quelle est la valeur de RA ?
2 kN
4 kN
6 kN
8 kN
Réponse: 6 kN. Moments par rapport à A : RB·4 = 8·1, donc RB = 2 kN et RA = 8 − 2 = 6 kN. 2 kN est RB : l’appui le plus proche de la charge en porte davantage.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : une poutre sur appuis simples avec une charge ponctuelle. Vous trouvez RA ou RB.
Moyen : deux charges ponctuelles, comme dans l’exemple résolu.
Difficile : une charge ponctuelle avec une CUR sur une partie ou la totalité de la portée. Remplacez d’abord la CUR par w·ℓ en son milieu.
D’autres variantes utilisent les trois mêmes équations : une console (trouver le moment d’encastrement MA), une charge inclinée (n’utiliser que sa composante verticale, P·sin θ), un couple appliqué, une poutre en porte-à-faux au-delà d’un appui, ou une charge triangulaire (résultante ½·w·ℓ au tiers de sa longueur à partir de l’extrémité la plus chargée).
Lisez attentivement les cotes sous la poutre et notez chaque distance à partir de A avant de commencer.
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.
L = 4 mP = 55 kN à 2 m
Calculer RB(kN)
Afficher les indices
Utilisez l’équilibre statique : ΣFy = 0 et ΣM = 0. Deux inconnues, deux équations.
Prenez les moments par rapport à A. RA passe par A, elle disparaît et vous obtenez RB directement.
La charge totale vers le bas vaut 55 kN, donc RA + RB = 55 kN.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN
Réponse
RB = 27,5 kN
Exemple 2Moyen
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.
L = 6 mP1 = 15 kN à 2 mP2 = 30 kN à 3 m
Calculer RB(kN)
Afficher les indices
Utilisez l’équilibre statique : ΣFy = 0 et ΣM = 0. Deux inconnues, deux équations.
Prenez les moments par rapport à A. RA passe par A, elle disparaît et vous obtenez RB directement.
La charge totale vers le bas vaut 45 kN, donc RA + RB = 45 kN.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 30·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20 = 25 kN
Réponse
RB = 20 kN
Exemple 3Difficile
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Une charge P agit à 3 m de A, inclinée de 30° par rapport à l’horizontale, et une charge verticale Q agit à 2 m de A. Trouvez l’intensité de la réaction totale RA à l’articulation A.
L = 4 mP = 25 kN à 3 m, θ = 30°Q = 25 kN à 2 m
Calculer RA(kN)
Afficher les indices
Décomposez P en P·cos θ (horizontale) et P·sin θ (verticale). L’appui simple ne reprend aucune force horizontale.
Trouvez RB par les moments par rapport à A, puis Ay avec ΣFy = 0 et Ax avec ΣFx = 0.
Ax = 21,65 kN, Ay = 15,63 kN.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Composantes de P
Pv = 25·sin 30° = 12,5 kN
Ph = 25·cos 30° = 21,65 kN
Réactions
ΣMA = 0: RB·4 = 12,5·3 + 25·2 → RB = 21,88 kN
Ay = 12,5 + 25 − 21,88 = 15,63 kN
Ax = Ph = 21,65 kN
Résultante en A
RA = √(21,65² + 15,63²) = 26,7 kN
Réponse
RA = 26,7 kN
Questions et réponses
Réactions d’appui des poutres : de quoi s’agit-il ?
Une poutre est un élément long et droit qui transmet des charges au-dessus d’un vide, comme une étagère, une solive de plancher ou un petit pont.
La poutre repose sur des appuis. Quand les charges poussent la poutre vers le bas, les appuis la repoussent vers le haut. Ces forces vers le haut sont les réactions d’appui.
Réactions d’appui des poutres : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Réactions d’appui des poutres : quelles sont les erreurs fréquentes ?
Mesurer le bras de levier à partir du mauvais point.
Oublier de remplacer une charge répartie par sa résultante.
Confondre quel appui reprend quelle réaction.
Réactions d’appui des poutres : que couvrent les exercices ?
Facile: 1 charge ponctuelle
Moyen: 2 charges ponctuelles
Difficile: charge ponctuelle + répartie
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.