Treillis : méthode des nœuds : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : méthode de Ritter · efforts dans les barres

Exercices gratuits sur Treillis : méthode des nœuds avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : symétrique, asymétrique, charge verticale + horizontale.

Exercice gratuitFacile
ABCDEFGH15 kN25 kN4 × 3 m3 m

Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.

B: 15 kN ↓D: 25 kN ↓
Exercice suivant →
S’entraîner gratuitement en Treillis : méthode des nœudsS’entraîner en Treillis : méthode des nœuds maintenant5 exercices gratuits chaque jour. Aucune carte bancaire requise.

Ce que vous travaillez

  1. Facilesymétrique
  2. Moyenasymétrique
  3. Difficilecharge verticale + horizontale

Comment résoudre les exercices de Treillis : méthode des nœuds

  1. Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
  2. Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
  3. Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
  4. Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Erreurs fréquentes

  • Commencer par un nœud avec trois inconnues.
  • Oublier les composantes angulaires des barres inclinées.
  • Inverser traction et compression.

Formules clés

Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression

Apprendre Treillis : méthode des nœuds depuis zéro

Avant cela : Réactions d’appui des poutres

1Ce qu’est une ferme (treillis)

Une ferme (ou treillis) est une ossature de barres droites assemblées à leurs extrémités pour former des triangles. On en voit dans les toits, les grues, les pylônes et de nombreux ponts.

ACBPAy​Cy​

Les barres s’appellent des membrures (ou barres) et les points de liaison des nœuds. Dans le modèle simple, chaque nœud est une articulation et les charges n’agissent qu’aux nœuds.

Alors chaque barre n’est tirée ou poussée que dans le sens de sa longueur. Elle supporte un seul effort normal :

  • traction : la barre est tirée et s’allonge. On la compte positive.
  • compression : la barre est poussée et se raccourcit. On la compte négative.

On utilise des triangles parce qu’un triangle ne peut pas changer de forme sans changer la longueur d’un côté. Cela rend une ferme rigide tout en utilisant peu de matière.

Auto-évaluation Un effort dans une barre vaut −12 kN. Que signifie cela ?
  1. La barre est en compression, 12 kN
  2. La barre est en traction, 12 kN
  3. La barre ne supporte aucun effort
  4. La charge pointe vers le haut

Réponse: La barre est en compression, 12 kN. Avec la traction comptée positive, un effort négatif est une compression : la barre est poussée et se raccourcit.

2Efforts à un nœud

Chaque nœud est en équilibre à lui seul. Donc à chaque nœud, deux équations sont vérifiées :

ΣFx = 0 ΣFy = 0

Deux équations signifient que l’on peut trouver au plus deux efforts inconnus dans les barres à un nœud. Commencez toujours par un nœud où seuls deux sont inconnus.

Dessinez chaque effort inconnu comme une traction : une flèche qui s’éloigne du nœud, le long de la barre. Si la réponse est négative, la barre est en compression.

FAB​FAC​Ay​αA

L’effort d’une barre inclinée a deux composantes. Si la barre fait un angle α avec l’horizontale :

Fx = F · cos α Fy = F · sin α

Vous avez rarement besoin de l’angle lui-même. À partir de la portée horizontale a de la barre, de sa hauteur h et de sa longueur ℓ = √(a² + h²) : cos α = a/ℓ et sin α = h/ℓ.

Auto-évaluation Une barre s’étend de 4 m à l’horizontale et de 3 m à la verticale, donc elle mesure 5 m de long. Elle supporte 10 kN. Quelle est la composante verticale ?
  1. 10 kN
  2. 6 kN
  3. 7,5 kN
  4. 8 kN

Réponse: 6 kN. sin α = 3/5 = 0,6, donc Fy = 10·0,6 = 6 kN. 8 kN est la composante horizontale (cos α = 0,8).

3La méthode pas à pas

  1. Trouvez les réactions d’appui sur l’ensemble de la ferme : ΣMA = 0 donne Cy, puis ΣFy = 0 donne Ay (et ΣFx = 0 donne Ax s’il y a une charge horizontale).
  2. Choisissez un nœud avec au plus deux efforts inconnus, généralement un nœud d’appui.
  3. Dessinez le nœud avec tous les efforts inconnus en traction (en s’éloignant du nœud).
  4. Écrivez ΣFy = 0. Si une seule barre a une composante verticale, cela donne directement son effort.
  5. Écrivez ΣFx = 0 pour le deuxième effort.
  6. Passez au nœud suivant, en utilisant les efforts que vous connaissez déjà. Un résultat négatif signifie compression.

La méthode des sections (de Ritter) est une alternative : coupez les barres dont vous avez besoin et prenez les moments autour d’un point où les autres barres coupées se rejoignent.

4Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

La ferme a une portée de 8 m et une hauteur de 3 m, avec le nœud B au-dessus du milieu de la portée. Une charge verticale de 30 kN agit en B. Trouvez les efforts dans les barres AB et AC.

1

Observez la ferme

ACB30 kN8 m3 m4 m

A est une articulation et C un appui simple (rouleau). Chaque barre inclinée a une portée horizontale de 4 m et une hauteur de 3 m, donc sa longueur est √(4² + 3²) = 5 m.

2

Réactions d’appui

La ferme et la charge sont symétriques, donc chaque appui porte la moitié de la charge :

Ay = Cy = 30 / 2 = 15 kN
3

Nœud A : équilibre vertical

FAB​FAC​15 kNαA

sin α = 3/5 = 0,6 et cos α = 4/5 = 0,8. Seule la barre AB a une composante verticale en A.

15 + FAB · 0,6 = 0 ⇒ FAB = −25 kN

Négatif, donc AB est en compression.

4

Nœud A : équilibre horizontal

FAC + FAB · 0,8 = 0 ⇒ FAC = −(−25) · 0,8 = 20 kN

Positif, donc AC est en traction. Elle relie les pieds de la ferme.

5

Vérifiez la réponse

Par symétrie, FBC = −25 kN aussi. Au nœud B, les deux barres poussent vers le haut avec 2 · 25 · 0,6 = 30 kN, ce qui équilibre la charge de 30 kN.

Réponse

FAB = −25 kN (compression) et FAC = 20 kN (traction).

5Erreurs fréquentes

  • Commencer à un nœud avec trois efforts inconnus. Deux équations ne peuvent pas résoudre trois inconnues.
  • Échanger sin et cos. Vérifiez quel côté du triangle est vertical.
  • Dessiner certains efforts inconnus en compression et d’autres en traction, puis mal lire les signes. Dessinez-les tous en traction.
  • Oublier la réaction d’appui au nœud, ou lui donner la mauvaise direction.
  • Oublier la charge horizontale dans l’équation des moments pour les réactions.
Auto-évaluation Au rouleau C, la réaction est Cy = 9 kN vers le haut. La barre BC est la seule barre ayant une composante verticale à cet endroit, avec sin γ = 0,6. Que vaut FBC ?
  1. +15 kN (traction)
  2. −11,25 kN (compression)
  3. −15 kN (compression)
  4. −5,4 kN (compression)

Réponse: −15 kN (compression). ΣFy = 0 : 9 + FBC·0,6 = 0, donc FBC = −15 kN. +15 kN perd le signe ; −5,4 multiplie par sin γ au lieu de diviser ; −11,25 utilise cos γ = 0,8.

6À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : symétrique. B est au-dessus du milieu de la portée et la charge est verticale, comme dans l’exemple. Les réactions valent chacune la moitié de la charge.
  • Moyen : asymétrique. B n’est pas au-dessus du milieu de la portée, donc AB et BC ont des angles différents. Trouvez d’abord Cy avec les moments autour de A.
  • Difficile : une charge verticale et une charge horizontale en B. L’articulation en A a aussi une réaction horizontale. Le nœud C reste le point de départ le plus simple, car le rouleau ne donne que Cy.

On vous demande l’effort dans une barre : AB, BC ou AC. Donnez la traction comme positive et la compression comme négative.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
ABBCACACB45 kN6 m3 m2 m

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 6 mhauteur = 2 mB est à 3 m de Acharge verticale = 45 kN

Calculer FAB (kN)

Afficher les indices
  1. Trouvez d’abord les réactions d’appui avec le treillis entier.
  2. Au nœud A, seule la barre AB a une composante verticale. ΣFy = 0 donne directement FAB.
  3. Ay = 22,5 kN.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Nœud A

Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22,5/0,5547 = −40,56 kN

Réponse

FAB = −40,56 kN (compression)
Exemple 2Moyen
ABBCACACB45 kN6 m1 m2 m

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FBC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 6 mhauteur = 2 mB est à 1 m de Acharge verticale = 45 kN

Calculer FBC (kN)

Afficher les indices
  1. Trouvez d’abord les réactions d’appui avec le treillis entier.
  2. Allez au nœud C. Seule BC y a une composante verticale, commencez donc par ΣFy = 0.
  3. Cy = 7,5 kN.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·1 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 7,5 = 37,5 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7,5/0,3714 = −20,19 kN

Réponse

FBC = −20,19 kN (compression)
Exemple 3Difficile
ABBCACACB60 kN30 kN5 m1 m3 m

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FBC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 5 mhauteur = 3 mB est à 1 m de Acharge verticale = 60 kNcharge horizontale = 30 kN ←

Calculer FBC (kN)

Afficher les indices
  1. Trouvez d’abord les réactions d’appui avec le treillis entier.
  2. Allez au nœud C. Seule BC y a une composante verticale, commencez donc par ΣFy = 0.
  3. Cy = −6 kN.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

ABBCACACB60 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·1 − 30·3 → Cy = −6 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − −6 = 66 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−6/0,6 = 10 kN

Réponse

FBC = 10 kN (traction)

Questions et réponses

Treillis : méthode des nœuds : de quoi s’agit-il ?

Une ferme (ou treillis) est une ossature de barres droites assemblées à leurs extrémités pour former des triangles. On en voit dans les toits, les grues, les pylônes et de nombreux ponts.

Les barres s’appellent des membrures (ou barres) et les points de liaison des nœuds. Dans le modèle simple, chaque nœud est une articulation et les charges n’agissent qu’aux nœuds.

Treillis : méthode des nœuds : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
  2. Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
  3. Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
  4. Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Treillis : méthode des nœuds : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Commencer par un nœud avec trois inconnues.
  • Oublier les composantes angulaires des barres inclinées.
  • Inverser traction et compression.
Treillis : méthode des nœuds : que couvrent les exercices ?
  • Facile: symétrique
  • Moyen: asymétrique
  • Difficile: charge verticale + horizontale

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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