Effort tranchant et moment fléchissant : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : diagramme des efforts tranchants · diagramme du moment fléchissant · torseur de cohésion

Exercices gratuits sur Effort tranchant et moment fléchissant avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : charge ponctuelle, charge répartie sur toute la portée, charge ponctuelle + répartie.

Exercice gratuitFacile
P = 60 kNAB2,5 m2,5 m

La poutre sur deux appuis porte une seule charge ponctuelle P. Trouvez l’effort tranchant Vx juste à droite de la charge. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mP = 60 kN à 2,5 m
kN
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Ce que vous travaillez

  1. Facilecharge ponctuelle
  2. Moyencharge répartie sur toute la portée
  3. Difficilecharge ponctuelle + répartie

Comment résoudre les exercices de Effort tranchant et moment fléchissant

  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
  3. Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
  4. Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Erreurs fréquentes

  • Prendre en compte les charges des deux côtés de la coupure.
  • Utiliser une mauvaise convention de signe pour les moments positifs et négatifs.
  • Donner l’effort tranchant alors que le moment fléchissant est demandé.

Formules clés

Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8

Apprendre Effort tranchant et moment fléchissant depuis zéro

Avant cela : Réactions d’appui des poutres

1Ce qui se passe à l’intérieur d’une poutre

Dans la leçon sur les réactions d’appui, vous avez trouvé les forces extérieures agissant sur une poutre. Regardons maintenant l’intérieur : que doit supporter la matière en un point de la poutre ?

Imaginez que vous sciez la poutre en deux en un point. Chaque moitié tomberait. Pour la maintenir en place, l’autre moitié doit la retenir par deux actions internes :

  • l’effort tranchant V, qui empêche un côté de glisser vers le haut ou vers le bas par rapport à l’autre (en kN) ;
  • le moment fléchissant M, qui empêche un côté de tourner par rapport à l’autre (en kN·m).
PAB2 m2 m2 m

Une poutre qui se courbe en « sourire », avec le bas tendu, est en flexion positive (travée). Une poutre qui se courbe en « moue », comme un balcon, est en flexion négative (sur appui ou en console).

Les ingénieurs ont besoin de M parce que la contrainte de flexion dans la poutre croît avec lui, et de V parce que la poutre ne doit pas être cisaillée près des appuis.

Auto-évaluation Une poutre sur deux appuis simples porte une charge vers le bas. Quel côté de la poutre est tendu ?
  1. Aucun côté, la poutre ne fait que raccourcir
  2. Le bas : la poutre est en flexion positive
  3. Le haut : la poutre est en flexion négative
  4. Les deux côtés de la même façon

Réponse: Le bas : la poutre est en flexion positive. Une poutre sur deux appuis se courbe en sourire sous une charge dirigée vers le bas. Les fibres du bas s’allongent (traction), celles du haut raccourcissent (compression).

2La méthode des coupures

Pour trouver V et M à une distance x de A, coupez la poutre à cet endroit et ne gardez que la partie à gauche de la coupure. Cette partie est en équilibre par elle-même.

RA​VMAx

Les conventions de signe habituelles : une force vers le haut sur la partie gauche compte comme un effort tranchant positif, et un moment qui fait « sourire » la poutre est positif. Cela donne deux recettes courtes :

  • Effort tranchant : V = RA moins toutes les charges vers le bas à gauche de la coupure.
  • Moment fléchissant : M = RA·x moins, pour chaque charge à gauche de la coupure, la charge multipliée par sa distance à la coupure.

Une portion de charge répartie à gauche de la coupure agit comme une seule force w·ℓ en son milieu, comme dans la leçon sur les réactions d’appui.

Vous pouvez aussi garder la partie droite. Vous obtenez les mêmes V et M, ce qui constitue une bonne vérification.

Auto-évaluation RA = 10 kN. La première charge est à 5 m de A. Quel est le moment fléchissant en x = 3 m ?
  1. 10 kN·m
  2. 13 kN·m
  3. 3,3 kN·m
  4. 30 kN·m

Réponse: 30 kN·m. Aucune charge ne se trouve à gauche de la coupure, donc M = RA·x = 10·3 = 30 kN·m. 10 kN est l’effort tranchant en ce point, pas le moment.

3Diagrammes et moment maximal

Si vous calculez V et M en chaque x, vous obtenez le diagramme de l’effort tranchant et le diagramme du moment fléchissant. Leurs formes suivent des règles simples :

  • Entre des charges ponctuelles, V est constant et M est une droite.
  • Sous une charge répartie, V décroît selon une droite et M est une courbe (une parabole).
  • Une charge ponctuelle fait faire à V un saut égal à la valeur de la charge.
  • M est maximal là où V change de signe, en passant par zéro.

Deux résultats reviennent si souvent qu’il vaut la peine de les connaître :

  • Charge ponctuelle P à mi-portée : Mmax = P·L / 4
  • Charge répartie w sur toute la portée : Mmax = w·L² / 8
Auto-évaluation Une poutre sur appuis simples de 6 m porte une charge répartie de 4 kN/m sur toute sa portée. Quel est le moment fléchissant maximal ?
  1. 12 kN·m
  2. 144 kN·m
  3. 18 kN·m
  4. 36 kN·m

Réponse: 18 kN·m. Mmax = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m à mi-portée. 36 utilise /4 (la règle de la charge ponctuelle) ; 12 kN est la réaction wL/2.

4La méthode pas à pas

  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section x et gardez la partie gauche.
  3. Effort tranchant : V = RA moins toutes les charges vers le bas sur la partie gauche.
  4. Moment fléchissant : M = RA·x moins chaque charge de la partie gauche multipliée par sa distance à la coupure.
  5. Pour le moment maximal : trouvez où V = 0 et calculez M à cet endroit.

Dessinez la partie gauche dans un petit croquis séparé. Cela montre clairement quelles charges inclure.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Une poutre sur appuis simples de portée 6 m porte une charge répartie de 4 kN/m sur toute sa longueur. Trouvez l’effort tranchant V et le moment fléchissant M en x = 2 m à partir de A.

1

Observer la poutre

w = 4 kN/mABRA​RB​2 m4 m
2

Réactions d’appui

La charge totale est 4 · 6 = 24 kN, au milieu. Par symétrie, chaque appui en porte la moitié :

RA = RB = 12 kN
3

Garder la partie gauche

w = 4 kN/m12 kNVMA2 m

La charge répartie sur la partie gauche vaut 4 · 2 = 8 kN. Elle agit en son milieu, à 1 m de la coupure.

4

Effort tranchant

V = 12 − 8 = 4 kN
5

Moment fléchissant

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

Il est positif, donc la poutre « sourit » ici.

6

Vérifiez la réponse

Utilisez plutôt la partie droite : elle mesure 4 m, avec RB = 12 kN et une charge répartie de 16 kN à 2 m de la coupure.

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

Le diagramme complet est une parabole dont le sommet vaut wL²/8 = 18 kN·m à mi-portée. 16 kN·m en x = 2 m est cohérent.

1618 kN·mMx = 2x = 3
Réponse

V = 4 kN et M = 16 kN·m (flexion positive).

6Erreurs fréquentes

  • Inclure les charges des deux côtés de la coupure. N’utilisez que la partie que vous avez gardée.
  • Mesurer le bras de levier depuis A au lieu de depuis la coupure. Dans M, chaque distance va de la charge à la coupure.
  • Répondre avec V quand on demande M, ou l’inverse. Vérifiez l’unité : kN ou kN·m.
  • Prendre toute la charge répartie au lieu de seulement la partie à gauche de la coupure.
  • Mélanger les conventions de signe. Avec les conventions habituelles, une poutre sur appuis simples soumise à des charges vers le bas a partout des moments positifs.
Auto-évaluation Une poutre sur appuis simples de 4 m porte 20 kN à mi-portée, donc RA = 10 kN. Quel est M en x = 1 m ?
  1. 0 kN·m
  2. 10 kN
  3. 10 kN·m
  4. 20 kN·m

Réponse: 10 kN·m. Seule RA se trouve à gauche de la coupure : M = 10·1 = 10 kN·m. 0 soustrait à tort la charge, qui est à droite de la coupure. 20 kN·m est PL/4, le maximum à mi-portée. 10 kN est l’effort tranchant.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : une charge ponctuelle. Trouvez M sous la charge, ou V juste à côté. Des variantes utilisent une console, où M est maximal à l’encastrement.
  • Moyen : une charge répartie sur toute la portée, comme dans l’exemple. Trouvez V ou M en un x donné, ou le moment maximal.
  • Difficile : une charge ponctuelle et une charge répartie ensemble, ou une charge répartie partielle. Trouvez M en une section ou le moment maximal là où V = 0.

Certaines versions utilisent une poutre avec porte-à-faux au-delà d’un appui. Le porte-à-faux est en flexion négative, donc M y est négatif.

Commencez toujours par les réactions d’appui et notez-les sur votre croquis.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
Afficher les indices
  1. Les pics du moment fléchissant se situent là où l’effort tranchant change de signe, à un mur d’encastrement, ou sur un appui voisin d’un porte-à-faux.
  2. Trouvez d’abord les réactions d’appui : R1 = 33,33 kN.
  3. Comparez les moments aux repères candidats ; la plus grande valeur est 66,67 kN·m.
Afficher la réponse et l’explication

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 33,33 kN, R2 = 6,667 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = 66,67 kN·m, MC = 53,33, MD = 40, ME = 26,67, MF = 13,33, MG = 0

Réponse

Repère B: MB = 66,67 kN·m
Exemple 2Moyen
w = 5 kN/mABcoupe0,5 m5,5 m

Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 0,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mw = 5 kN/m de 0 à 6 mx = 0,5 m

Calculer Mx (kN·m)

Afficher les indices
  1. Trouvez d’abord les réactions d’appui par l’équilibre de toute la poutre.
  2. Coupez ensuite la poutre en x = 0,5 m et ne regardez que la partie à gauche de la coupe. Faites la somme des moments de ces forces par rapport à la coupe.
  3. RA = 15 kN.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, appliquée en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15coupe0,5 m5,5 m

Couper en x = 0,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

Réponse

Mx = 6,875 kN·m
Exemple 3Difficile
w = 6 kN/mP = 45 kNABcoupe1,5 m3,5 m1 m

Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mP = 45 kN à 1,5 mw = 6 kN/m de 0 à 6 mx = 5 m

Calculer Mx (kN·m)

Afficher les indices
  1. Trouvez d’abord les réactions d’appui par l’équilibre de toute la poutre.
  2. Coupez ensuite la poutre en x = 5 m et ne regardez que la partie à gauche de la coupe. Faites la somme des moments de ces forces par rapport à la coupe.
  3. RA = 51,75 kN.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, appliquée en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1,5 + 6·6·3
RB = 175,5/6 = 29,25 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 29,25 = 51,75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51,75RB​ = 29,25coupe1,5 m3,5 m1 m

Couper en x = 5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 51,75·5 − 45·(5 − 1,5) − 6·5·2,5 = 26,25 kN·m

Réponse

Mx = 26,25 kN·m

Questions et réponses

Effort tranchant et moment fléchissant : de quoi s’agit-il ?

Dans la leçon sur les réactions d’appui, vous avez trouvé les forces extérieures agissant sur une poutre. Regardons maintenant l’intérieur : que doit supporter la matière en un point de la poutre ?

Imaginez que vous sciez la poutre en deux en un point. Chaque moitié tomberait. Pour la maintenir en place, l’autre moitié doit la retenir par deux actions internes :

Effort tranchant et moment fléchissant : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
  3. Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
  4. Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Effort tranchant et moment fléchissant : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Prendre en compte les charges des deux côtés de la coupure.
  • Utiliser une mauvaise convention de signe pour les moments positifs et négatifs.
  • Donner l’effort tranchant alors que le moment fléchissant est demandé.
Effort tranchant et moment fléchissant : que couvrent les exercices ?
  • Facile: charge ponctuelle
  • Moyen: charge répartie sur toute la portée
  • Difficile: charge ponctuelle + répartie

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

À voir d’abord

Réactions d’appui des poutres

Ensuite

Flèche d’une poutre

Calculatrices

Calculateur de diagrammes d’effort tranchant et de moment fléchissantCalculatrice de contrainte de flexion (σ = My/I)

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