Flambement des poteaux : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : flambement d’Euler · charge critique d’Euler · flambage

Exercices gratuits sur Flambement des poteaux avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : extrémités articulées, autres conditions d’appui, dimensionnement et contrainte critique.

Exercice gratuitFacile
PL = 2,5 m40 × 80 mmsection

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 40 × 80 mm
kN
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Ce que vous travaillez

  1. Facileextrémités articulées
  2. Moyenautres conditions d’appui
  3. Difficiledimensionnement et contrainte critique

Formules clés

Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)

Apprendre Flambement des poteaux depuis zéro

Avant cela : Centre de gravité et moment quadratique

1Ce qu’est le flambement

Appuyez sur les deux extrémités d’une règle en plastique. Au début, rien ne semble se passer. Puis, assez brusquement, elle se courbe sur le côté. C’est le flambement.

Une colonne (ou poteau) est un élément comprimé dans sa longueur : un poteau de bâtiment, une entretoise de toiture, une tige de piston.

PL

Une colonne courte et épaisse se rompt par écrasement : la contrainte P/A atteint la résistance du matériau. Une colonne longue et élancée flambe sous une charge beaucoup plus faible, alors que la contrainte est encore très inférieure à cette résistance.

La charge à laquelle une colonne élancée flambe est sa charge critique Pcr. Au-delà, la colonne est instable et cède.

Auto-évaluation Deux colonnes en acier ont la même section. L’une mesure 2 m, l’autre 4 m. Laquelle flambe sous la charge la plus faible ?
  1. Aucune : les colonnes en acier ne peuvent pas flamber
  2. La colonne de 2 m
  3. La colonne de 4 m
  4. Les deux sous la même charge

Réponse: La colonne de 4 m. Une colonne plus longue est plus élancée et flambe plus facilement. La longueur est le facteur le plus important dans le flambement.

2Formule d’Euler

Leonhard Euler a trouvé la charge critique d’une colonne élancée :

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E est le module de Young du matériau : 200 GPa pour l’acier.
  • I est le moment quadratique de la section. Utilisez le plus petit : la colonne fléchit du côté le plus facile.
  • L est la longueur, et K est le coefficient de longueur efficace (de flambement), qui dépend de la manière dont les extrémités sont maintenues.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

Une extrémité articulée peut tourner ; une extrémité encastrée ne le peut pas. Maintenir plus fermement les extrémités donne une longueur efficace KL plus courte et un Pcr bien plus élevé, car KL est au carré.

Pour une barre ronde, I = π·d⁴/64. Pour un rectangle b × h avec b le plus petit côté, Imin = h·b³/12.

Auto-évaluation Une colonne articulée–articulée a Pcr = 100 kN. La même colonne est encastrée à la base et libre en tête (K = 2). Quel est maintenant Pcr ?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Réponse: 25 kN. Pcr est divisé par K² = 4 : 100/4 = 25 kN. 50 kN oublie de mettre K au carré ; 200 et 400 kN multiplient au lieu de diviser.

3Élancement et contrainte critique

Diviser Pcr par l’aire donne la contrainte critique. Elle s’écrit le plus simplement avec le rayon de giration r et l’élancement λ (lambda) :

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Pour une barre pleine ronde, r = d/4.

La formule d’Euler n’est valable que tant que σcr reste inférieur à la limite d’élasticité du matériau. Pour l’acier de construction, cela signifie un élancement d’environ λ > 100. Les colonnes plus trapues se rompent par plastification ou par un mélange des deux, et demandent d’autres règles de dimensionnement.

Auto-évaluation La section d’une colonne rectangulaire mesure 20 mm × 40 mm. Quel est le plus petit moment quadratique ?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Réponse: 26 667 mm⁴. L’axe faible met au cube le plus petit côté : 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. 106 667 correspond à l’axe fort ; 320 000 oublie le /12 ; 7854 utilise la formule du cercle.

4La méthode pas à pas

  1. Lisez les conditions aux extrémités et choisissez K : 1, 2, 0,7 ou 0,5.
  2. Trouvez le plus petit I de la section, en mm⁴.
  3. Convertissez en N et mm : L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000).
  4. Longueur efficace : KL.
  5. Charge critique : Pcr = π²EI/(KL)², en N. Divisez par 1000 pour obtenir des kN.
  6. Si on le demande, vérifiez l’élancement KL/r ou la contrainte critique Pcr/A.

Pour une question de dimensionnement avec un coefficient de sécurité n, la colonne doit avoir Pcr = n·P. Résolvez la formule d’Euler pour I, puis pour le diamètre.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Une colonne ronde pleine en acier (E = 200 GPa) de diamètre 40 mm et de longueur 2 m est articulée aux deux extrémités. Trouvez sa charge critique de flambement Pcr. Trouvez-la ensuite pour la même colonne encastrée à la base et libre en tête.

1

Observer la colonne

PL = 2 m

Articulée aux deux extrémités, donc K = 1 et KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Moment quadratique

Une section ronde a le même I par rapport à tous les axes :

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Charge critique

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

Vérifier qu’Euler s’applique

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

C’est bien inférieur à la limite d’élasticité de l’acier (environ 250 MPa), donc la colonne est élancée et la formule d’Euler est valable.

5

Base encastrée, tête libre

Maintenant K = 2, donc la longueur efficace double pour atteindre 4000 mm et Pcr est divisé par 2² = 4 :

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
Réponse

Pcr = 62,0 kN articulée aux deux extrémités, et 15,5 kN encastrée à la base et libre en tête.

6Erreurs fréquentes

  • Choisir le mauvais K, ou oublier de le mettre au carré.
  • Utiliser le plus grand I d’un rectangle. Une colonne flambe toujours autour de son axe faible.
  • Mélanger les unités : L en mètres avec E en N/mm². Travaillez en N et en mm partout.
  • Utiliser π·d⁴/32 (le moment quadratique polaire J de la torsion) au lieu de π·d⁴/64.
  • Appliquer Euler à une colonne courte et trapue dont la contrainte critique dépasserait la limite d’élasticité.
Auto-évaluation Une colonne articulée aux deux extrémités a Pcr = 40 kN. La même colonne est encastrée aux deux extrémités (K = 0,5). Quel est Pcr ?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Réponse: 160 kN. Pcr est divisé par K² = 0,25, donc il devient quatre fois plus grand : 160 kN. 80 kN oublie de mettre K au carré ; 10 kN multiplie par K² au lieu de diviser.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : extrémités articulées. Trouvez Pcr d’une colonne ronde ou rectangulaire en acier ou en aluminium.
  • Moyen : autres conditions aux extrémités. La même question avec K = 2, 0,7 ou 0,5.
  • Difficile : dimensionnement et contrainte critique. Trouvez le plus petit diamètre qui supporte une charge avec un coefficient de sécurité, ou trouvez l’élancement et σcr.

Pour le cas de dimensionnement avec une barre ronde : d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
PL = 5 md = 50 mmsection

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

Calculer Pcr (kN)

Afficher les indices
  1. Euler : Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Coefficient de longueur de flambement : K = 1 pour un poteau articulé aux deux extrémités.
  3. I = 306796 mm⁴.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·5000 = 5000 mm

Charge critique

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Réponse

Pcr = 8,478 kN
Exemple 2Moyen
PL = 2,5 md = 30 mmsection

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)d = 30 mm

Calculer Pcr (kN)

Afficher les indices
  1. Euler : Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Coefficient de longueur de flambement : K = 2 pour un poteau encastré en pied et libre en tête.
  3. I = 39761 mm⁴.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·2500 = 5000 mm

Charge critique

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Réponse

Pcr = 3,139 kN
Exemple 3Difficile
PL = 2,5 md = 25 mmsection

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σcr avec la formule d’Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

Calculer σcr (MPa)

Afficher les indices
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², avec r = √(I/A) le rayon de giration.
  2. Utilisez le plus petit I, car le poteau flambe autour de son axe le plus faible.
  3. r = 6,25 mm.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Contrainte critique

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Réponse

σcr = 4,318 MPa

Questions et réponses

Flambement des poteaux : de quoi s’agit-il ?

Appuyez sur les deux extrémités d’une règle en plastique. Au début, rien ne semble se passer. Puis, assez brusquement, elle se courbe sur le côté. C’est le flambement.

Une colonne (ou poteau) est un élément comprimé dans sa longueur : un poteau de bâtiment, une entretoise de toiture, une tige de piston.

Flambement des poteaux : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Flambement des poteaux : que couvrent les exercices ?
  • Facile: extrémités articulées
  • Moyen: autres conditions d’appui
  • Difficile: dimensionnement et contrainte critique

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

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