Flèche d’une poutre : exercices corrigés pas à pas

Q: Flèche d’une poutre : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Q: Flèche d’une poutre : que couvrent les exercices ?

Facile: console, charge en bout Moyen: charge uniforme Difficile: superposition et dimensionnement Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Aussi appelé : déformée d’une poutre · équation de la déformée

Exercices gratuits sur Flèche d’une poutre avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : console, charge en bout, charge uniforme, superposition et dimensionnement.

Exercice gratuitFacile

Une console porte une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 3 kNL = 1,5 mE = 200 GPa (acier)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

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Ce que vous travaillez

Facileconsole, charge en bout
Moyencharge uniforme
Difficilesuperposition et dimensionnement

Formules clés

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Apprendre Flèche d’une poutre depuis zéro

Avant cela : Effort tranchant et moment fléchissant, Centre de gravité et moment quadratique

1Ce qu’est la flèche

Toute poutre fléchit un peu sous une charge. La distance dont un point de la poutre descend est sa flèche δ, généralement en mm.

Une poutre peut être assez résistante et fléchir quand même trop. Les planchers deviennent alors rebondissants, le plâtre se fissure et les portes coincent. Une limite courante pour les planchers est portée/360 : un plancher de 3,6 m peut fléchir de 10 mm au maximum.

La flèche d’une poutre dépend de quatre éléments :

la charge : une charge double donne une flèche double ;
la portée : la flèche croît très vite avec la longueur (L³ ou L⁴) ;
le module de Young E du matériau : un matériau plus rigide fléchit moins ;
le moment quadratique I de la section : une section plus haute fléchit moins.

E et I apparaissent toujours ensemble sous la forme du produit EI, la rigidité en flexion de la poutre.

Auto-évaluation Vous remplacez une poutre par une poutre dont le moment quadratique I est double. Tout le reste est identique. Que devient la flèche ?

Elle devient quatre fois plus petite
Elle double
Elle est divisée par deux
Elle reste identique

Réponse: Elle est divisée par deux. La flèche est inversement proportionnelle à EI. Doubler I divise δ par deux.

2Les formules usuelles

Les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois le moment fléchissant, mais pour les cas courants le résultat est tabulé. Quatre cas couvrent la plupart des questions :

Console, charge ponctuelle P à l’extrémité libre : δ = P·L³ / (3·E·I)
Console, charge répartie w sur toute la longueur : δ = w·L⁴ / (8·E·I)
Poutre sur appuis simples, charge ponctuelle P à mi-portée : δ_max = P·L³ / (48·E·I)
Poutre sur appuis simples, charge répartie w sur toute la portée : δ_max = 5·w·L⁴ / (384·E·I)

Pour une console, la flèche maximale est à l’extrémité libre ; pour une poutre sur appuis simples avec des charges symétriques, elle est à mi-portée.

Quand une poutre porte plusieurs charges, les flèches dues à chaque charge prise seule s’additionnent. C’est la superposition.

Auto-évaluation Une console soumise à une charge d’extrémité a une flèche en bout de 2 mm. On la rend deux fois plus longue. Quelle est la nouvelle flèche ?

16 mm
32 mm
4 mm
8 mm

Réponse: 16 mm. δ est proportionnelle à L³, donc doubler L multiplie δ par 2³ = 8 : 2·8 = 16 mm. 4 mm traite la relation comme linéaire ; 32 mm utilise L⁴, qui correspond au cas de la charge répartie.

3Unités : travailler en N et en mm

Les formules ne fonctionnent qu’avec des unités cohérentes. Le choix le plus sûr est le newton et le millimètre :

P en N : kN × 1000.
w en N/mm : 1 kN/m vaut exactement 1 N/mm.
L en mm : m × 1000.
E en N/mm² : GPa × 1000. Acier : 200 GPa = 200 000 N/mm².
I en mm⁴ : « 36 × 10⁶ mm⁴ » signifie 36 000 000 mm⁴.

La flèche sort alors en mm. Comme L est élevé à la puissance 3 ou 4, les nombres deviennent grands. Une calculatrice avec les puissances de dix permet de les maîtriser.

Auto-évaluation Une poutre est en acier, E = 200 GPa. Quelle valeur de E utilisez-vous avec N et mm ?

0,2 N/mm²
200 000 000 N/mm²
200 000 N/mm²
200 N/mm²

Réponse: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², donc 200 GPa = 200 000 N/mm². Utiliser 200 rend la flèche 1000 fois trop grande.

4La méthode pas à pas

Identifiez le cas : console ou appuis simples, charge ponctuelle ou répartie.
Convertissez P, w, L, E et I en N et mm.
Choisissez la formule correspondante.
Calculez δ en mm.
Pour plusieurs charges : calculez chacune séparément et additionnez.
Pour une question de dimensionnement : posez δ égale à la valeur admissible (par exemple L/360) et résolvez pour I.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Une console en acier (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) mesure 3 m de long et porte une charge ponctuelle de 8 kN à son extrémité libre. Trouvez la flèche à l’extrémité libre.

Identifier le cas

Une console avec une charge ponctuelle à l’extrémité libre : δ = PL³/(3EI).

Convertir en N et mm

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

Rigidité en flexion

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7,2 × 10¹² N·mm²

Flèche en bout

L³ = 3000³ = 2,7 × 10¹⁰ mm³

δ = 8000 · 2,7 × 10¹⁰ / (3 · 7,2 × 10¹²) = 10 mm

Vérifiez la réponse

10 mm sur une console de 3 m, c’est L/300. C’est une valeur réaliste pour une poutre en acier chargée : ni une fraction de millimètre ni des dizaines de centimètres.

Réponse

L’extrémité libre fléchit de δ = 10 mm.

6Erreurs fréquentes

Mélanger les unités : L en mètres avec E en N/mm² donne n’importe quoi. Convertissez d’abord tout en N et mm.
Laisser E en GPa, ce qui rend δ 1000 fois trop grande.
Utiliser le mauvais cas, par exemple PL³/(48EI) pour une console. Vérifiez les appuis et le type de charge.
Oublier le 5 dans 5wL⁴/(384EI).
En superposition, utiliser une formule différente pour chaque charge mais oublier l’une des charges.

Auto-évaluation Une poutre sur appuis simples porte une charge ponctuelle à mi-portée qui donne seule 4 mm, et une charge répartie qui donne seule 6 mm. Quelle est la flèche à mi-portée ?

10 mm
2 mm
24 mm
6 mm

Réponse: 10 mm. Par superposition, les flèches dues à chaque charge s’additionnent : 4 + 6 = 10 mm. Ne prendre que la plus grande, la différence ou le produit est faux dans tous les cas.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

Facile : console avec une charge d’extrémité. Trouvez δ = PL³/(3EI). Variantes : une poutre sur appuis simples avec une charge centrale, la rotation de l’extrémité, ou la charge qui donne une certaine flèche.
Moyen : charge répartie. Une console (wL⁴/8EI) ou une poutre sur appuis simples (5wL⁴/384EI). Variantes : charges excentrées et rotations aux extrémités.
Difficile : superposition et dimensionnement. Additionnez les flèches d’une charge ponctuelle et d’une charge répartie, ou trouvez le plus petit I qui maintient δ sous L/360.

Pour le cas de dimensionnement : I_req = 5wL⁴ / (384·E·δ_allow), avec δ_allow = L/360.

Apprenez pas à pas dans l’application Apprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à mi-portée. Trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (acier)I = 12 × 10⁶ mm⁴

Calculer δ_max (mm)

Afficher les indices

Pour une poutre sur deux appuis avec charge ponctuelle centrée, la flèche à mi-portée vaut δ = PL³/(48EI).
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
EI = 2,4 × 10¹² N·mm².

Afficher la réponse et la solution pas à pas

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flèche à mi-portée

δ_max = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 10,56 mm

Réponse

δ_max = 10,56 mm

Exemple 2Moyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 2 m de A. Trouvez la flèche δ_B à l’extrémité libre B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (acier)I = 84 × 10⁶ mm⁴

Calculer δ_B (mm)

Afficher les indices

La partie entre A et la charge se comporte comme une console de longueur a avec charge en bout : δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
Au-delà de la charge, il n’y a pas de moment, donc cette partie reste droite : δ_B = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
a = 2000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm².

Afficher la réponse et la solution pas à pas

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Flèche à l’extrémité libre

Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 4,127 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003095 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,51 mm

Réponse

δ_B = 16,51 mm

Exemple 3Difficile

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 100 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez la hauteur minimale h_req de la section.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 100 mm

Calculer h_req (mm)

Afficher les indices

Égalez la flèche à mi-portée 5wL⁴/(384EI) à la limite et isolez le I requis.
Utilisez ensuite I = bh³/12 pour le rectangle et isolez h.
I_req = 4,602 × 10⁷ mm⁴.

Afficher la réponse et la solution pas à pas

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Moment quadratique nécessaire

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = I_req → h = (12·4,602 × 10⁷/100)^1/3 = 176,8 mm

Réponse

h_req = 176,8 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

Questions et réponses

Flèche d’une poutre : de quoi s’agit-il ?

Toute poutre fléchit un peu sous une charge. La distance dont un point de la poutre descend est sa flèche δ, généralement en mm.

Flèche d’une poutre : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Flèche d’une poutre : quelles sont les erreurs fréquentes ?

PL³/(3EI) correspond à la console avec charge en bout. Une poutre sur deux appuis avec charge centrée a une flèche de PL³/(48EI).
Le coefficient 5/384 correspond à une charge uniforme (avec wL⁴). Pour une charge ponctuelle centrée, utilisez 1/48.
C’est la flèche sous la charge. Au-delà de la charge, la poutre reste droite mais inclinée : ajoutez θ·(L − a).

Flèche d’une poutre : que couvrent les exercices ?

Facile: console, charge en bout
Moyen: charge uniforme
Difficile: superposition et dimensionnement

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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