Centre de gravité et moment quadratique : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : moment d’inertie · théorème de Huygens · barycentre
Exercices gratuits sur Centre de gravité et moment quadratique avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : centre de gravité, moment quadratique, contrainte de flexion.
Exercice gratuitFacile
Trouvez la hauteur ȳ du centre de gravité de la section en T au-dessus de son bord inférieur.
Apprendre Centre de gravité et moment quadratique depuis zéro
1Pourquoi la forme d’une section compte
Coupez une poutre bien droit en travers et regardez la face de coupe. Cette forme est la section transversale, ou simplement la section.
Prenez une planche en bois de 100 × 20 mm. Posée à plat au-dessus d’un vide, elle plie beaucoup. Posée sur la tranche, la même planche est bien plus rigide, bien qu’elle ait exactement la même aire.
Ce qui compte, c’est la distance de la matière à l’axe autour duquel la poutre fléchit. La matière éloignée de cet axe travaille beaucoup plus.
Deux propriétés décrivent cela. Le centre de gravité (centroïde) est le centre géométrique de la section : la poutre fléchit autour d’un axe qui y passe. Le moment quadratique I mesure à quel point l’aire est éloignée de cet axe.
Auto-évaluation La même planche est utilisée à plat (a) et sur la tranche (b), fléchie autour d’un axe horizontal. Laquelle est la plus rigide ?
Cela ne dépend que du matériau
Les deux sont identiques, puisque l’aire est la même
Sur la tranche (b)
À plat (a)
Réponse: Sur la tranche (b). Sur la tranche, la matière est plus éloignée de l’axe de flexion. L’aire est la même, mais c’est sa distance à l’axe qui compte.
2Le centre de gravité d’une section composée
Pour un rectangle, le centre de gravité est au milieu. De nombreuses sections de poutre, comme un T, sont composées de rectangles.
Divisez la section en rectangles. Pour chacun, trouvez son aire Ai et la hauteur yi de son propre centre de gravité, mesurée depuis une ligne de référence, généralement le bord inférieur.
Le centre de gravité de la section entière est la moyenne des hauteurs pondérée par les aires :
ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai
Une grande partie attire le centre de gravité vers elle. Dans une section en T avec l’aile en haut, le centre de gravité se situe au-dessus de la mi-hauteur.
Auto-évaluation La partie 1 a A = 3000 mm² à y = 20 mm. La partie 2 a A = 1000 mm² à y = 100 mm. Où se trouve le centre de gravité ?
ȳ = 160 mm
ȳ = 40 mm
ȳ = 60 mm
ȳ = 80 mm
Réponse: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm est la moyenne simple des hauteurs, qui ignore les aires. 80 mm échange les aires.
3Le moment quadratique
Pour un rectangle de largeur b et de hauteur h, fléchi autour d’un axe horizontal passant par son propre centre de gravité :
Ic = b · h³ / 12
La hauteur est élevée au cube, c’est pourquoi la planche sur la tranche est 25 fois plus rigide : 20·100³ / (100·20³) = 25.
Pour une section composée, chaque partie est à une certaine distance d de l’axe passant par le centre de gravité global. Le théorème de Huygens (des axes parallèles) ajoute un terme pour ce décalage :
I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )
L’unité est le mm⁴. Les nombres deviennent grands, donc les réponses sont souvent données en « × 10⁶ mm⁴ ».
Une fois que vous avez I, la contrainte de flexion à une distance y de l’axe passant par le centre de gravité découle du moment fléchissant M :
σ = M · y / I
Auto-évaluation Un rectangle de 100 mm de large et de 20 mm de haut : que vaut I autour de son propre axe horizontal passant par son centre de gravité ?
1 666 667 mm⁴
400 000 mm⁴
66 667 mm⁴
800 000 mm⁴
Réponse: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. 1 666 667 échange b et h (c’est la planche sur la tranche) ; 800 000 oublie de diviser par 12.
4La méthode pas à pas
Divisez la section en rectangles et numérotez-les.
Pour chaque partie : aire Ai et hauteur du centre de gravité yi, toutes mesurées depuis le bord inférieur.
Centre de gravité : ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
Pour chaque partie : son propre Ic = bh³/12 et la distance di = yi − ȳ.
Additionnez : I = Σ(Ic,i + Aidi²).
Si une contrainte est demandée : σ = M·y/I, avec y la distance de l’axe au bord voulu.
Un petit tableau avec les colonnes A, y, A·y, Ic, d et A·d² garde tout en ordre.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Une section en T a une aile de 100 × 20 mm au-dessus d’une âme de 20 × 100 mm. Trouvez la hauteur du centre de gravité ȳ, le moment quadratique Ix, et les contraintes de flexion sur les bords supérieur et inférieur pour un moment positif (qui fait fléchir vers le bas) de 4 kN·m.
1
Découper en deux rectangles
Aile (1) : A1 = 100·20 = 2000 mm², centre de gravité en y1 = 100 + 10 = 110 mm.
Âme (2) : A2 = 20·100 = 2000 mm², centre de gravité en y2 = 50 mm.
2
Centre de gravité
ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm
Les deux aires sont égales, donc ȳ est à mi-chemin entre 110 et 50 mm.
3
Moments quadratiques propres
Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4
Termes de Huygens
Chaque centre de gravité est à 30 mm de l’axe x : d1 = 110 − 80 = 30 mm et d2 = 50 − 80 = −30 mm.
M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. Le bord inférieur est à 80 mm de l’axe, le bord supérieur à 120 − 80 = 40 mm.
σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa
Le bord inférieur est en traction et le bord supérieur en compression, comme dans toute poutre fléchie vers le bas.
Réponse
ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σbas = 60 MPa et σhaut = 30 MPa.
6Erreurs fréquentes
Oublier le terme A·d². Sans lui, on ne fait qu’additionner les I propres des parties, ce qui est bien trop petit.
Mesurer les hauteurs yi depuis des lignes de référence différentes. Choisissez le bord inférieur et tenez-vous-y.
Utiliser d depuis le bord inférieur au lieu du centre de gravité global.
Échanger b et h dans bh³/12. La dimension perpendiculaire à l’axe de flexion est élevée au cube.
Utiliser la mauvaise distance au bord dans σ = M·y/I. Le bord le plus éloigné de l’axe a la plus grande contrainte.
Auto-évaluation Un rectangle de 100 × 20 mm (largeur × hauteur) a son centre de gravité à 50 mm d’un axe x. Quelle est sa contribution à Ix ?
0,067 × 10⁶ mm⁴
5,00 × 10⁶ mm⁴
5,07 × 10⁶ mm⁴
6,67 × 10⁶ mm⁴
Réponse: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. 0,067 × 10⁶ oublie A·d² ; 5,00 × 10⁶ oublie le terme propre ; 6,67 × 10⁶ utilise 1 666 667 (b et h échangés) plus A·d².
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : centre de gravité. Trouvez ȳ d’une section en T au-dessus de son bord inférieur. Variantes : une section en L, ou I d’un seul rectangle, d’un cercle (πd⁴/64) ou d’un caisson.
Moyen : moment quadratique. Trouvez Ix de la section en T autour de son axe passant par le centre de gravité. Variantes : sections en I, profilés en U, et rayon de giration r = √(I/A).
Difficile : contrainte de flexion. La section en T supporte un moment M ; trouvez la contrainte sur le bord supérieur ou inférieur avec σ = M·y/I.
Les dimensions données sont bf et tf pour l’aile, et tw et hw pour l’âme.
Trouvez la hauteur ȳ du centre de gravité de la section en T au-dessus de son bord inférieur.
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Calculer ȳ(mm)
Afficher les indices
Découpez le T en une semelle et une âme, et trouvez l’aire et la hauteur du centre de gravité de chacune.
ȳ = ΣA·y / ΣA, avec chaque y mesuré depuis le bord inférieur.
Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.
Découper en deux rectangles
Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.
semelle: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
Une plaque de 100 mm × 240 mm a un trou circulaire de diamètre 30 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 156 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique Ix par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.
b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmcentre du trou: y = 156 mm
Calculer Ix(× 10⁶ mm⁴)
Afficher les indices
Trouvez d’abord le centre de gravité : la plaque moins le trou.
ȳ = 118,9 mm.
Alors I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) par rapport à ȳ.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a Ic = bh³/12 et un cercle Ic = πd⁴/64.
Centre de gravité
ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm
Plaque pleine par rapport à ȳ
100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴
Trou par rapport à ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴
Soustraire
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Réponse
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Exemple 3Difficile
Une plaque de 100 mm × 200 mm a une découpe rectangulaire de 30 mm de large et 20 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 120 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique Ix par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.
b = 100 mmh = 200 mmdécoupe: 30 × 20 mmcentre du trou: y = 120 mm
Calculer Ix(× 10⁶ mm⁴)
Afficher les indices
Trouvez d’abord le centre de gravité : la plaque moins le trou.
ȳ = 99,38 mm.
Alors I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) par rapport à ȳ.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a Ic = bh³/12 et un cercle Ic = πd⁴/64.
Centre de gravité
ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm
Plaque pleine par rapport à ȳ
100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴
Trou par rapport à ȳ
30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴
Soustraire
Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴
Réponse
Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴
Questions et réponses
Centre de gravité et moment quadratique : de quoi s’agit-il ?
Coupez une poutre bien droit en travers et regardez la face de coupe. Cette forme est la section transversale, ou simplement la section.
Prenez une planche en bois de 100 × 20 mm. Posée à plat au-dessus d’un vide, elle plie beaucoup. Posée sur la tranche, la même planche est bien plus rigide, bien qu’elle ait exactement la même aire.
Centre de gravité et moment quadratique : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.
Centre de gravité et moment quadratique : que couvrent les exercices ?
Facile: centre de gravité
Moyen: moment quadratique
Difficile: contrainte de flexion
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.