Écoulement à surface libre (Manning) : exercices corrigés pas à pas

Exercices gratuits sur Écoulement à surface libre (Manning) avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : vitesse dans un canal, débit, pente nécessaire.

Exercice gratuitFacile
b = 1 my = 0,8 mn = 0,014

L’eau s’écoule uniformément sur 0,8 m de profondeur dans un canal rectangulaire en béton brut de 1 m de large (n de Manning = 0,014). La pente du fond vaut S = 0,0008. Utilisez la formule de Manning en unités SI pour trouver la vitesse moyenne V.

b = 1 my = 0,8 mn = 0,014S = 0,0008
m/s
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Ce que vous travaillez

  1. Facilevitesse dans un canal
  2. Moyendébit
  3. Difficilepente nécessaire

Formules clés

Formule de Manning
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Débit
Q = A·V
Rayon hydraulique
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle
A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
R = D/4
Pente nécessaire
S = (n·Q/(A·R2/3))²

Apprendre Écoulement à surface libre (Manning) depuis zéro

1Ce qu’est l’écoulement à surface libre

L’eau d’une rivière, d’un canal, d’un fossé de drainage ou d’un égout qui n’est pas plein s’écoule avec une surface libre ouverte à l’air. C’est l’écoulement à surface libre.

Rien ne pompe l’eau. La gravité l’entraîne le long de la pente du fond, et le frottement avec le fond et les parois la retient.

Quand ces deux effets s’équilibrent, la profondeur et la vitesse restent constantes le long du canal. C’est ce qu’on appelle l’écoulement uniforme, et c’est ce que décrit la formule de Manning.

Les ingénieurs l’utilisent pour répondre à trois questions : à quelle vitesse l’eau s’écoule-t-elle, quelle quantité d’eau un canal peut-il transporter, et quelle pente faut-il donner au canal ?

Auto-évaluation Dans un écoulement uniforme à surface libre, quels deux effets s’équilibrent ?
  1. La gravité le long de la pente et le frottement du fond et des parois
  2. La pression de la pompe et le frottement
  3. La pression de l’air et la pression de l’eau
  4. Le poids de l’eau et sa poussée d’Archimède

Réponse: La gravité le long de la pente et le frottement du fond et des parois. La pente du fond permet à la gravité d’entraîner l’eau, et la paroi rugueuse la ralentit. Quand elles s’équilibrent, la profondeur et la vitesse cessent de changer.

2Rayon hydraulique et périmètre mouillé

Le frottement n’agit que là où l’eau touche le canal. Cette frontière, mesurée tout autour de la section, est le périmètre mouillé P. La surface libre touche l’air, elle ne compte donc pas.

byA = b·yP = b + 2y

Le trait épais sur la figure est P. La partie colorée est la section d’écoulement A. Leur rapport est le rayon hydraulique :

R = A / P
  • Rectangle de largeur b et de profondeur y : A = b·y et P = b + 2y.
  • Trapèze avec des talus de pente z:1 (z à l’horizontale pour 1 à la verticale) : A = (b + z·y)·y et P = b + 2y·√(1 + z²).
  • Conduite circulaire pleine ou à moitié pleine : R = D/4.

Un grand R signifie beaucoup d’eau pour peu de paroi, donc moins de frottement par litre et un écoulement plus rapide.

Auto-évaluation Un canal rectangulaire fait 4 m de large et l’eau y a 1 m de profondeur. Quel est le rayon hydraulique R ?
  1. 0,5 m
  2. 0,667 m
  3. 1 m
  4. 4 m

Réponse: 0,667 m. A = 4 · 1 = 4 m² et P = 4 + 2 · 1 = 6 m, donc R = 4/6 = 0,667 m. Inclure la surface libre dans P (P = 8 m) donne 0,5 m, et 1 m est la profondeur, pas R.

3Formule de Manning

En unités SI, la vitesse moyenne d’un écoulement uniforme est :

V = (1/n) · R2/3 · S1/2
  • n est le coefficient de rugosité de Manning. Le béton lisse fini vaut environ 0,012, la maçonnerie de briques 0,015, la terre propre 0,022, la terre enherbée 0,03. Plus rugueux signifie un n plus grand et une eau plus lente.
  • R est le rayon hydraulique en m.
  • S est la pente du fond en m/m, un nombre sans unité. Une chute de 1,5 m par kilomètre donne S = 1,5/1000 = 0,0015.

Le débit est la vitesse multipliée par la section d’écoulement :

Q = A · V

Pour trouver la pente dont un canal a besoin, combinez les deux et résolvez pour S :

S = (n · Q / (A · R2/3))²
Auto-évaluation Le fond d’un canal descend de 2 m sur 1 km. Quelle pente S faut-il utiliser dans la formule de Manning ?
  1. 0,0002
  2. 0,002
  3. 0,02
  4. 2

Réponse: 0,002. S = chute/longueur = 2 m / 1000 m = 0,002. La pente n’a pas d’unité, donc les mètres doivent s’annuler.

4La méthode pas à pas

  1. Faites un schéma de la section et notez b, y, z (si trapézoïdale), n et S.
  2. Trouvez la section d’écoulement A.
  3. Trouvez le périmètre mouillé P : le fond plus les côtés mouillés, jamais la surface libre.
  4. Rayon hydraulique : R = A/P.
  5. Manning : V = (1/n)·R2/3·S1/2.
  6. Si le débit est demandé : Q = A·V. Si la pente est demandée, utilisez S = (n·Q/(A·R2/3))².

Sur une calculatrice, R2/3 s’écrit R^(2/3), avec les parenthèses. Calculez R2/3 et √S séparément avant de multiplier.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

De l’eau s’écoule de façon uniforme sur 1 m de profondeur dans un canal rectangulaire en briques de 3 m de large (n de Manning = 0,015). La pente du fond est S = 0,001. Trouvez la vitesse moyenne V et le débit Q.

1

Regardez la section

b = 3 my = 1 mn = 0,015S = 0,001

C’est un rectangle, donc A = b·y et P = b + 2y.

2

Section et périmètre mouillé

A = 3 · 1 = 3 m²
P = 3 + 2 · 1 = 5 m
3

Rayon hydraulique

R = A/P = 3/5 = 0,6 m

Alors R2/3 = 0,62/3 = 0,7114.

4

Formule de Manning

√S = √0,001 = 0,03162.

V = (1/0,015) · 0,7114 · 0,03162 = 1,50 m/s
5

Débit

Q = A · V = 3 · 1,50 = 4,50 m³/s
6

Vérifiez la réponse

Les canaux revêtus ont généralement des vitesses de 1 à 3 m/s, donc 1,50 m/s est raisonnable. Un revêtement en terre plus rugueux (n = 0,022) donnerait une vitesse plus faible pour la même pente.

Réponse

V = 1,50 m/s et Q = 4,50 m³/s.

6Erreurs fréquentes

  • Utiliser la profondeur y au lieu du rayon hydraulique R.
  • Compter la surface libre dans le périmètre mouillé.
  • Pour un trapèze, prendre chaque côté de longueur y. Le côté mouillé vaut y·√(1 + z²).
  • Utiliser S au lieu de √S, ou oublier d’élever au carré à la fin quand on résout pour S.
  • Utiliser une pente en m/km comme si elle était en m/m.
  • Donner V alors que Q est demandé : multipliez par la section.
Auto-évaluation Canal rectangulaire : b = 4 m, y = 1 m, n = 0,02, S = 0,0016. Quelle est la vitesse moyenne V ?
  1. 0,061 m/s
  2. 1,26 m/s
  3. 1,53 m/s
  4. 2,00 m/s

Réponse: 1,53 m/s. R = 4/6 = 0,667 m, donc V = (1/0,02) · 0,667^(2/3) · 0,04 = 1,53 m/s. Utiliser la profondeur comme R donne 2,00 m/s, et inclure la surface libre dans P donne 1,26 m/s.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : vitesse dans un canal rectangulaire. Parfois la pente est donnée sous forme de chute par kilomètre.
  • Moyen : le débit Q, dans un canal rectangulaire ou trapézoïdal, ou dans une conduite pleine ou à moitié pleine (R = D/4).
  • Difficile : la pente du fond dont un canal a besoin pour transporter un débit Q donné, ou la pente d’un égout pour une vitesse donnée.

Exemple du trapèze : b = 2 m, y = 1 m, talus de pente 2:1, n = 0,022, S = 0,001. A = (2 + 2·1)·1 = 4 m² et P = 2 + 2·1·√5 = 6,47 m, donc R = 0,618 m.

V = (1/0,022) · 0,6182/3 · √0,001 = 1,04 m/s, Q = 4 · 1,04 = 4,17 m³/s

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
b = 2,5 my = 1 mn = 0,022

L’eau s’écoule uniformément sur 1 m de profondeur dans un canal rectangulaire en terre propre de 2,5 m de large (n de Manning = 0,022). Le fond descend de 4 m par kilomètre. Utilisez la formule de Manning en unités SI pour trouver la vitesse moyenne V.

b = 2,5 my = 1 mn = 0,022dénivelé = 4 m/km

Calculer V (m/s)

Afficher les indices
  1. Trouvez le rayon hydraulique R = A/P de la section mouillée.
  2. La pente est le dénivelé divisé par la longueur : S = 4/1000.
  3. R = 0,5556 m.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Rayon hydraulique

A = b·y = 2,5·1 = 2,5 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·1 = 4,5 m
R = A/P = 0,5556 m

Pente

S = 4/1000 = 0,004

Formule de Manning

V = (1/n)·R2/3·S1/2 = (1/0,022)·0,55562/3·0,0041/2 = 1,943 m/s

Réponse

V = 1,943 m/s
Exemple 2Moyen
D = 300 mmn = 0,013, S = 0,0005

Un collecteur d’eaux pluviales en béton de diamètre intérieur 300 mm coule tout juste plein (en écoulement à surface libre, pas en charge). n de Manning = 0,013 et la pente vaut S = 0,0005. Trouvez le débit Q en m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,0005

Calculer Q (m³/s)

Afficher les indices
  1. Conduite pleine : A = π·D²/4 et P = π·D.
  2. Dans les deux cas, R = A/P = D/4 = 0,075 m.
  3. Trouvez V avec Manning, puis Q = A·V.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m

Vitesse

V = (1/0,013)·0,0752/3·0,00051/2 = 0,3059 m/s

Débit

Q = A·V = 0,07069·0,3059 = 0,02162 m³/s

Réponse

Q = 0,02162 m³/s
Exemple 3Difficile
b = 2,5 my = 1,8 mn = 0,03, Q = 2,7 m³/s

Un canal rectangulaire en terre enherbée de 2,5 m de large doit transporter 2,7 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1,8 m. n de Manning = 0,03. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).

Q = 2,7 m³/sb = 2,5 my = 1,8 mn = 0,03

Calculer S (m/m)

Afficher les indices
  1. Combinez Q = A·V avec Manning : Q = (1/n)·A·R2/3·S1/2.
  2. A = 4,5 m², R = 0,7377 m.
  3. Résolvez pour S : S = (n·Q/(A·R2/3))².
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Géométrie

A = b·y = 2,5·1,8 = 4,5 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·1,8 = 6,1 m
R = A/P = 0,7377 m

Résoudre Manning pour S

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·2,7/(4,5·0,8164) = 0,02205
S = 0,02205² = 0,0004861

Réponse

S = 0,0004861

Cela correspond à une pente de 0,4861 m par kilomètre.

Questions et réponses

Écoulement à surface libre (Manning) : de quoi s’agit-il ?

L’eau d’une rivière, d’un canal, d’un fossé de drainage ou d’un égout qui n’est pas plein s’écoule avec une surface libre ouverte à l’air. C’est l’écoulement à surface libre.

Rien ne pompe l’eau. La gravité l’entraîne le long de la pente du fond, et le frottement avec le fond et les parois la retient.

Écoulement à surface libre (Manning) : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.

Écoulement à surface libre (Manning) : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Utilisez le rayon hydraulique R = A/P, pas la profondeur. La profondeur n’est une bonne approximation que pour les canaux très larges.
  • La surface libre ne fait pas partie du périmètre mouillé : P = b + 2y.
  • La pente est sans dimension : 4 m pour 1000 m donne S = 0,004.
Écoulement à surface libre (Manning) : que couvrent les exercices ?
  • Facile: vitesse dans un canal
  • Moyen: débit
  • Difficile: pente nécessaire

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Calculatrices

Calculatrice de la formule de Manning

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