Poussée hydrostatique : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : pression hydrostatique · poussée sur une paroi · centre de poussée
Exercices gratuits sur Poussée hydrostatique avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : paroi verticale, vanne immergée, centre de poussée.
Apprendre Poussée hydrostatique depuis zéro
1Ce qu’est la force hydrostatique
L’eau au repos pousse sur toutes les surfaces qu’elle touche : la paroi d’un réservoir, un barrage, une porte d’écluse. Cette poussée est la force hydrostatique.
Plus on descend, plus l’eau pousse fort. On le sent dans les oreilles quand on plonge au fond d’une piscine.
La pression à une profondeur h sous la surface libre est le poids de la colonne d’eau située au-dessus d’un mètre carré :
p = ρ · g · h
ρ est la masse volumique (1000 kg/m³ pour l’eau douce) et g = 9,81 m/s². Avec h en mètres, p s’exprime en Pa (N/m²). Divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
La pression s’exerce perpendiculairement à la surface. Elle ne dépend pas de la forme ni de la largeur du réservoir, seulement de la profondeur.
Auto-évaluation Quelle est la pression de l’eau à 5 m sous la surface d’un lac ? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
- 24,5 kPa
- 49,05 kPa
- 5 kPa
- 98,1 kPa
Réponse: 49,05 kPa. p = 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa = 49,05 kPa. Omettre g donne 5 kPa, ce qui est une masse par surface, pas une pression.
2Force sur une paroi verticale
Sur une paroi verticale, la pression croît linéairement de zéro à la surface jusqu’à ρgh au fond. La charge sur la paroi est un triangle.
La force totale est l’aire de ce triangle multipliée par la largeur b de la paroi :
F = ½ · ρg·h · h · b = ½ · ρ · g · h² · b
La force s’applique au centre de gravité du triangle, à un tiers de la hauteur au-dessus de la base :
ȳ = h / 3 (au-dessus de la base)
La force s’applique donc plus bas que le milieu de la paroi. C’est logique : la partie basse est la plus fortement poussée.
Auto-évaluation De l’eau de 2 m de profondeur s’appuie contre une paroi verticale de 1 m de large. Quelle est la force résultante ? (ρg = 9810 N/m³)
- 19,62 kN
- 39,24 kN
- 4 kN
- 9,81 kN
Réponse: 19,62 kN. F = ½ · 9810 · 2² · 1 = 19 620 N = 19,62 kN. Utiliser la pression de la base sur toute la paroi (39,24 kN) oublie le ½ : la pression est nulle en haut.
3Vannes immergées et centre de poussée
Une vanne située en profondeur dans la paroi d’un réservoir ne commence pas à la surface. Pour toute surface plane, la force est égale à la pression au niveau de son centre de gravité multipliée par son aire :
F = ρ · g · yc · A
yc est la profondeur du centre de gravité. Pour une vanne rectangulaire de hauteur H dont le bord supérieur se trouve à d sous la surface, yc = d + H/2 et A = H·b.
La force ne s’applique pas au centre de gravité. Elle s’applique un peu plus bas, au centre de poussée, car la partie basse de la vanne est poussée plus fortement :
ycp = yc + Ic / (yc · A), Ic = b·H³/12
Ic est le moment quadratique de la vanne par rapport à son propre centre de gravité. Plus la vanne est profonde, plus ycp se rapproche de yc.
Pour une paroi qui commence à la surface (d = 0), on obtient ycp = 2h/3 sous la surface, ce qui équivaut à h/3 au-dessus de la base.
4La méthode pas à pas
- Dessinez la surface et indiquez sa profondeur sous la surface libre : bord supérieur d et hauteur H (ou profondeur h pour une paroi).
- Trouvez la profondeur du centre de gravité yc et l’aire A.
- Utilisez la masse volumique du liquide de l’énoncé : eau 1000, eau de mer 1025, huile 880 kg/m³.
- Force : F = ρ·g·yc·A. Divisez par 1000 pour obtenir des kN.
- Si l’on demande la ligne d’action : ycp = yc + Ic/(yc·A), mesurée vers le bas depuis la surface libre.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détailléUne vanne rectangulaire verticale de 2 m de large et 2 m de haut est placée dans la paroi d’un réservoir d’eau, son bord supérieur se trouvant à 1 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
1La vanne va de 1 m à 3 m sous la surface. Sa largeur dans le plan perpendiculaire à la page est b = 2 m.
2yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
4pc = ρ·g·yc = 1000 · 9,81 · 2 = 19 620 Pa = 19,62 kPa
5F = pc · A = 19,62 · 4 = 78,48 kN
6La pression est de 9,81 kPa au bord supérieur et de 29,43 kPa au bord inférieur. Leur moyenne est de 19,62 kPa, donc la force est à nouveau 19,62 · 4 = 78,48 kN.
Réponse F = 78,48 kN, agissant horizontalement sur la vanne.
6Erreurs fréquentes
- Placer la force au centre de gravité. Elle s’applique plus bas : à h/3 au-dessus de la base pour une paroi, en ycp pour une vanne.
- Mesurer ȳ depuis la surface alors que la question demande la hauteur au-dessus de la base, ou l’inverse.
- Utiliser la profondeur du bord supérieur, ou du bord inférieur, au lieu de la profondeur du centre de gravité.
- Oublier le ½ pour une paroi qui commence à la surface.
- Oublier g, ou utiliser la masse volumique de l’eau pour de l’huile ou de l’eau de mer.
Auto-évaluation L’eau a 6 m de profondeur contre une paroi verticale. Où s’applique la force résultante ?
- À 2 m au-dessus de la base
- À 2 m sous la surface
- À 3 m au-dessus de la base
- À 4 m au-dessus de la base
Réponse: À 2 m au-dessus de la base. La charge triangulaire s’applique à son centre de gravité, h/3 = 2 m au-dessus de la base. 3 m correspond au milieu de la paroi, où la force ne s’appliquerait que si la pression était uniforme.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
- Facile : de l’eau contre une paroi verticale, depuis la surface. Trouvez F = ½ρgh²b ou la hauteur ȳ = h/3 au-dessus de la base.
- Moyen : une vanne rectangulaire immergée dans l’eau. Trouvez F = ρg·yc·A, comme dans l’exemple.
- Difficile : la même vanne dans de l’huile, de l’eau de mer ou de la glycérine, et parfois la profondeur du centre de poussée ycp.
Pour la vanne de l’exemple : Ic = 2 · 2³/12 = 1,333 m⁴, donc ycp = 2 + 1,333/(2 · 4) = 2,167 m sous la surface. C’est 0,167 m sous le centre de gravité.
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