Continuité et Bernoulli : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : théorème de Bernoulli · équation de continuité · effet Venturi
Exercices gratuits sur Continuité et Bernoulli avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : continuité, rétrécissement horizontal, conduite montante.
Exercice gratuitFacile
L’eau circule à 0,75 m/s dans la partie large de la conduite, de diamètre 75 mm. Trouvez le débit volumique Q.
Mettez le pouce sur l’extrémité d’un tuyau d’arrosage et l’eau jaillit plus vite. La même quantité d’eau doit passer par une ouverture plus petite, elle doit donc aller plus vite.
Cette idée est la continuité : dans un tuyau plein, l’eau ne peut ni s’accumuler ni disparaître. Ce qui entre chaque seconde doit ressortir chaque seconde.
La seconde idée, l’équation de Bernoulli, relie vitesse, pression et hauteur. Là où l’eau accélère, sa pression baisse. Là où elle monte, sa pression baisse aussi.
Ensemble, ces deux idées permettent de prédire la vitesse et la pression en tout point d’un tuyau. Dans ce thème, le fluide est incompressible (comme l’eau) et les pertes par frottement sont négligées.
Auto-évaluation De l’eau s’écoule dans un tuyau qui se rétrécit. Que devient sa vitesse dans la partie étroite ?
Elle augmente
Elle diminue
Elle reste identique
L’eau s’arrête
Réponse: Elle augmente. Le même volume par seconde doit traverser une section plus petite, donc l’eau doit aller plus vite.
2Débit et continuité
Le débit volumiqueQ est le volume de fluide qui passe par seconde, en m³/s. Un litre par seconde (L/s) vaut 0,001 m³/s.
Pour un fluide se déplaçant à une vitesse moyenne v à travers une section d’aire A :
Q = A · v A = π · d² / 4
Le débit massique est ṁ = ρ · Q, en kg/s, où ρ est la masse volumique (1000 kg/m³ pour l’eau).
La continuité dit que Q est le même en toute section du tuyau :
A1 · v1 = A2 · v2
Pour des tuyaux circulaires, le π/4 se simplifie, donc v2 = v1 · (d1 / d2)². Diviser le diamètre par deux rend l’eau quatre fois plus rapide.
Auto-évaluation Un tuyau passe de 80 mm à 40 mm. L’eau circule à 1 m/s dans la partie large. Quelle est sa vitesse dans la partie étroite ?
0,25 m/s
2 m/s
4 m/s
8 m/s
Réponse: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. L’aire dépend du carré du diamètre. Utiliser le rapport des diamètres sans le mettre au carré donne 2 m/s.
3L’équation de Bernoulli
Le long d’une ligne de courant sans pertes, l’énergie par mètre cube de fluide reste la même. Elle comporte trois parties : la pression, le mouvement et la hauteur.
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
p : la pression, en Pa.
½ρv² : l’énergie cinétique par m³, aussi en Pa.
ρgz : l’énergie de hauteur par m³, où z est la hauteur au-dessus d’un niveau de référence de votre choix.
Donc si une partie augmente, une autre doit diminuer. Une eau plus rapide a une pression plus faible. Une eau plus haute a une pression plus faible.
Un cas particulier utile est un réservoir qui se vide par un petit orifice situé à une profondeur h sous la surface libre. La surface bouge à peine et les deux points sont à la pression atmosphérique, ce qui donne la loi de Torricelli :
v = √(2gh)
Auto-évaluation Un réservoir d’eau ouvert se vide par un petit orifice situé 5 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, quelle est la vitesse du jet à la sortie de l’orifice ? (g = 9,81 m/s²)
49,1 m/s
7,00 m/s
9,90 m/s
98,1 m/s
Réponse: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. Oublier le 2 donne 7,00 m/s, et oublier la racine carrée donne 98,1.
4La méthode pas à pas
Faites un schéma du tuyau et numérotez deux sections : la 1 où vous en savez le plus, la 2 où se trouve l’inconnue.
Convertissez les unités : mm en m, kPa en Pa, L/s en m³/s.
Calculez les aires A = π·d²/4 et utilisez la continuité pour obtenir la vitesse manquante.
Écrivez Bernoulli entre les sections 1 et 2. Pour un tuyau horizontal, z1 = z2, donc les termes de hauteur s’annulent.
Résolvez pour l’inconnue, puis reconvertissez en kPa si nécessaire.
Gardez des unités cohérentes. Avec ρ en kg/m³ et v en m/s, le terme ½ρv² s’exprime en Pa, pas en kPa.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule dans un tuyau horizontal qui passe de 100 mm à 50 mm. Dans la section large, la pression est de 200 kPa et la vitesse de 1,5 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression dans la section étroite.
1
Dessiner le tuyau
La section 1 est la partie large, où tout est connu. La section 2 est la partie étroite.
2
Vitesse dans la partie étroite
Le diamètre est divisé par deux, donc la vitesse est multipliée par (100/50)² = 4 :
v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3
Écrire Bernoulli
Le tuyau est horizontal, donc les termes de hauteur s’annulent :
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4
Remplacer, en pascals
½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5
Vérifiez la réponse
L’eau va plus vite dans la partie étroite, donc sa pression doit être plus basse. 183,1 kPa est inférieur à 200 kPa, comme prévu.
Le débit est Q = 0,007854 · 1,5 = 11,8 L/s dans les deux sections.
Réponse
p2 ≈ 183,1 kPa dans la section étroite (v2 = 6 m/s).
6Erreurs fréquentes
Utiliser le rapport des diamètres au lieu du rapport des aires : les vitesses varient comme le carré du diamètre.
Utiliser le rayon comme s’il s’agissait du diamètre dans A = π·d²/4, ou oublier le /4.
Mélanger kPa et Pa. Travaillez en Pa dans Bernoulli, puis convertissez à la fin.
Donner m³/s comme s’il s’agissait de L/s. Multipliez les m³/s par 1000 pour obtenir des L/s.
Oublier le terme de hauteur ρ·g·Δz quand le tuyau monte ou descend.
Auto-évaluation De l’eau s’écoule à 2 m/s dans un tuyau de 100 mm de diamètre intérieur. Quel est le débit volumique ?
0,0157 L/s
15,7 L/s
20 L/s
62,8 L/s
Réponse: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m², donc Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. Oublier le /4 donne 62,8, et oublier π/4 donne 20.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : la continuité. Trouvez un débit, un débit massique, la vitesse dans une section plus étroite, ou le diamètre de tuyau nécessaire pour un débit donné. Certaines questions utilisent la loi de Torricelli pour un réservoir qui se vide.
Moyen : un convergent horizontal. Trouvez la pression dans une section à partir de l’autre. Des variantes utilisent un tube de Venturi, un tube de Pitot (v = √(2Δp/ρ)) ou un orifice avec un coefficient de débit.
Difficile : un tuyau ascendant. Le terme de hauteur compte : chaque mètre de dénivelé fait baisser la pression de ρ·g·1 = 9,81 kPa pour l’eau. Les variantes comprennent un siphon, un réservoir sous pression et une fontaine.
Dans l’exemple ci-dessus, une montée de 5 m entre les sections ferait encore baisser p2 de 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa, soit 134,1 kPa.
L’eau circule dans une conduite dont le diamètre passe de 100 mm à 50 mm. La vitesse dans la partie large vaut 2,75 m/s. Trouvez la vitesse v2 dans la partie étroite.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s
Calculer v2(m/s)
Afficher les indices
Le même volume d’eau traverse chaque section par seconde : Q = A·v.
A₁v₁ = A₂v₂, et l’aire varie comme d², donc v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
A1 = 0,007854 m².
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité
Le débit est le même dans les deux parties.
A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s
Réponse
v2 = 11 m/s
Exemple 2Moyen
L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 150 mm à 50 mm. Dans la partie large, la pression vaut 250 kPa et la vitesse 0,5 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.
Utilisez d’abord la continuité pour trouver la vitesse dans la partie étroite.
Bernoulli pour une conduite horizontale : p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂².
v2 = 4,5 m/s.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 190 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 25 mm de diamètre, situé 4 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².
Bernoulli de la surface de l’eau (pression relative p, au repos) au jet (pression atmosphérique).
p/ρ + gh = ½v², donc v = √(2(p/ρ + gh)) avec p en Pa.
p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Mettez le pouce sur l’extrémité d’un tuyau d’arrosage et l’eau jaillit plus vite. La même quantité d’eau doit passer par une ouverture plus petite, elle doit donc aller plus vite.
Cette idée est la continuité : dans un tuyau plein, l’eau ne peut ni s’accumuler ni disparaître. Ce qui entre chaque seconde doit ressortir chaque seconde.
Continuité et Bernoulli : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli : quelles sont les erreurs fréquentes ?
La pression de l’air pousse aussi l’eau vers l’extérieur : incluez p/ρ dans l’équation de Bernoulli.
La hauteur d’eau contribue aussi à la vitesse : v = √(2(p/ρ + gh)).
Continuité et Bernoulli : que couvrent les exercices ?
Facile: continuité
Moyen: rétrécissement horizontal
Difficile: conduite montante
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.