Vibrations mécaniques : exercices corrigés pas à pas
Exercices gratuits sur Vibrations mécaniques avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : fréquence propre, taux d’amortissement, ressorts en série et en parallèle.
Exercice gratuitFacile
Une machine repose sur des supports élastiques, qui s’écrasent de 15 mm sous son poids. Considérez-la comme un système non amorti à un degré de liberté et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la fréquence propre fn des vibrations verticales, en Hz.
Suspendez une masse à un ressort, tirez-la un peu vers le bas et lâchez-la. Elle rebondit de haut en bas autour de sa position de repos. Ce mouvement répété est une vibration.
Chaque système de ce type a son propre rythme préféré, la fréquence propre. Elle dépend uniquement de la raideur du ressort et de la masse, pas de la distance dont vous avez tiré.
Les ingénieurs s’y intéressent parce qu’une machine excitée à sa fréquence propre peut vibrer violemment. C’est ce qu’on appelle la résonance. Les supports de moteur, les machines à laver et les ponts sont tous conçus en en tenant compte.
Un ressort plus raide rend la vibration plus rapide. Une masse plus lourde la rend plus lente.
Auto-évaluation Vous remplacez la masse au bout d’un ressort par une masse quatre fois plus lourde. Que devient la fréquence propre ?
Elle double
Elle est divisée par deux
Elle est quatre fois plus basse
Elle reste identique
Réponse: Elle est divisée par deux. La fréquence dépend de √(k/m). Une masse quatre fois plus grande divise la racine carrée par √4 = 2, donc la fréquence est divisée par deux.
2Fréquence propre et association de ressorts
Pour une masse m (kg) au bout d’un ressort de raideur k (N/m), la pulsation propre en rad/s est :
ωn = √(k / m)
Un cycle complet vaut 2π radians. La fréquence propre en hertz (cycles par seconde) et la période (secondes par cycle) sont donc :
fn = ωn / (2π) T = 1 / fn
Parfois on ne connaît que l’affaissement du ressort sous le poids, la flèche statique δst = m·g/k. Alors ωn = √(g / δst), avec δst en mètres.
Quand il y a plusieurs ressorts, remplacez-les d’abord par un seul ressort équivalent :
Côte à côte (en parallèle), les ressorts se partagent la charge et les raideurs s’additionnent.
Bout à bout (en série), chaque ressort supporte toute la charge, et le ressort équivalent est plus souple que chacun d’eux.
Auto-évaluation Deux ressorts de 10 kN/m chacun sont connectés bout à bout (en série). Quelle est la raideur équivalente ?
10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m
Réponse: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, donc k = 5 kN/m. Les additionner pour obtenir 20 kN/m est la règle des ressorts en parallèle.
3Amortissement
Les vibrations réelles s’éteignent. Un amortisseur (un piston qui se déplace dans de l’huile, comme l’amortisseur d’une voiture) retire de l’énergie. Sa force est le coefficient d’amortissement c en N·s/m.
L’amortissement critique est la quantité d’amortissement qui empêche juste la masse de rebondir :
cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn
Le taux d’amortissement compare l’amortissement réel à cette valeur critique :
ζ = c / cc
ζ < 1 : sous-amorti. La masse vibre encore, mais les oscillations diminuent.
ζ = 1 : amortissement critique. Elle revient au repos aussi vite que possible sans dépasser.
ζ > 1 : sur-amorti. Elle revient lentement sans vibrer.
Un système sous-amorti vibre un peu plus lentement que le système non amorti, à la pulsation propre amortie :
ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Auto-évaluation Une masse de 10 kg repose sur un ressort de 1000 N/m avec un amortisseur de c = 50 N·s/m. Quel est le taux d’amortissement ?
0,25
0,5
2,5
4
Réponse: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, donc ζ = 50/200 = 0,25. Oublier le facteur 2 donne 0,5, et diviser dans l’autre sens donne 4.
4La méthode pas à pas
Convertissez tout en unités SI : kN/m en N/m (× 1000), mm en m, grammes en kg.
S’il y a plusieurs ressorts, combinez-les en un seul k : additionnez-les en parallèle, additionnez leurs inverses en série.
Trouvez ωn = √(k/m) en rad/s.
Si la question demande des hertz, divisez par 2π : fn = ωn/(2π). Pour la période, prenez T = 1/fn.
Avec amortissement, trouvez cc = 2·√(k·m), puis ζ = c/cc et, si demandé, ωd = ωn·√(1 − ζ²).
Distinguez bien ω (rad/s) et f (Hz). Ils diffèrent d’un facteur 2π ≈ 6,28, et les confondre est le moyen le plus courant de perdre des points.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Une masse de 50 kg est suspendue à un ressort de raideur 20 kN/m. Négligez l’amortissement. Trouvez la fréquence propre fn en Hz et la période de vibration.
1
Dessiner et convertir
La raideur doit être en N/m : k = 20 kN/m = 20 000 N/m. La masse est déjà en kg.
2
Pulsation propre
ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3
Convertissez en hertz
Divisez par 2π pour compter les cycles complets par seconde :
fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4
La période
T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s
La masse fait un peu plus de trois cycles complets de haut en bas chaque seconde.
5
Vérifiez la réponse
La flèche statique est δst = m·g/k = 50 · 9,81 / 20 000 = 0,0245 m.
ωn = √(9,81 / 0,0245) = 20 rad/s
Les mêmes 20 rad/s, trouvés d’une autre façon. La réponse est bonne.
6
Pour aller plus loin : ajoutez un amortisseur
Avec un amortisseur de c = 400 N·s/m : cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, donc ζ = 400/2000 = 0,2.
ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
Réponse
fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s), et la période est T ≈ 0,314 s.
6Erreurs fréquentes
Donner ωn en rad/s quand la question demande fn en Hz, ou l’inverse.
Laisser la raideur en kN/m. La formule demande des N/m.
Additionner des ressorts en série comme s’ils étaient en parallèle.
Oublier le 2 dans cc = 2·√(k·m).
Utiliser le poids m·g au lieu de la masse m dans ωn = √(k/m).
Auto-évaluation Une masse de 4 kg est suspendue à un ressort de 400 N/m. Quelle est sa fréquence propre en Hz ?
0,05 Hz
1,59 Hz
10 Hz
62,8 Hz
Réponse: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, et fn = 10/(2π) = 1,59 Hz. S’arrêter à 10 donne des rad/s, pas des Hz ; multiplier par 2π donne 62,8 ; utiliser 0,4 (kN/m) donne 0,05 Hz.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : fréquence propre. Une masse au bout d’un ressort : trouvez ωn en rad/s ou fn en Hz. Certaines questions ne donnent que la flèche statique d’une machine sur ses supports.
Moyen : taux d’amortissement. Trouvez ζ à partir de m, k et c, ou trouvez la fréquence amortie fd à partir d’un ζ donné. D’autres donnent deux pics issus d’un essai de vibration libre.
Difficile : ressorts en série et en parallèle, parfois les deux (deux ressorts côte à côte qui portent une barre, avec un troisième ressort en dessous). Trouvez d’abord keq, puis fn.
Pour deux pics x0 et xn séparés de n cycles, utilisez le décrément logarithmique :
Une masse de 40 kg est suspendue à un ressort de raideur 15 kN/m. Négligez l’amortissement. Trouvez la fréquence propre fn en Hz.
m = 40 kgk = 15 kN/m
Calculer fn(Hz)
Afficher les indices
Travaillez en unités SI : k en N/m.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
k = 15000 N/m.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Pulsation propre
ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s
En hertz
fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz
Réponse
fn = 3,082 Hz
Exemple 2Moyen
Une masse de 10 kg sur un ressort de raideur 50 kN/m est munie d’un amortisseur visqueux qui donne un taux d’amortissement de 0,4. Trouvez la fréquence propre amortie fd de ses vibrations libres, en Hz.
m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4
Calculer fd(Hz)
Afficher les indices
Trouvez d’abord la fréquence propre non amortie.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
fd = fn·√(1 − ζ²).
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Fréquence propre non amortie
ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz
Fréquence propre amortie
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz
Réponse
fd = 10,31 Hz
Exemple 3Difficile
Une masse de 5 kg est suspendue à deux ressorts reliés bout à bout (en série) : le ressort du haut a k₁ = 80 kN/m et celui du bas k₂ = 20 kN/m. Trouvez la raideur équivalente keq du système de ressorts, en kN/m.
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
Calculer keq(kN/m)
Afficher les indices
Des ressorts en parallèle ont le même allongement : les raideurs s’additionnent. Des ressorts en série subissent la même force : les souplesses 1/k s’additionnent.
1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
keq < 20 kN/m.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Raideur équivalente
Des ressorts en série subissent la même force et leurs allongements s’additionnent ; ils se combinent donc par leurs inverses : 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Suspendez une masse à un ressort, tirez-la un peu vers le bas et lâchez-la. Elle rebondit de haut en bas autour de sa position de repos. Ce mouvement répété est une vibration.
Chaque système de ce type a son propre rythme préféré, la fréquence propre. Elle dépend uniquement de la raideur du ressort et de la masse, pas de la distance dont vous avez tiré.
Vibrations mécaniques : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vibrations mécaniques : quelles sont les erreurs fréquentes ?
C’est ωn en rad/s. Divisez par 2π pour obtenir la fréquence en Hz.
Convertissez les kN/m en N/m (multipliez par 1000) avant d’utiliser ωn = √(k/m).
Divisez ωn par 2π pour obtenir des Hz ; ne multipliez pas.
Vibrations mécaniques : que couvrent les exercices ?
Facile: fréquence propre
Moyen: taux d’amortissement
Difficile: ressorts en série et en parallèle
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.