Moteurs thermiques et réfrigérateurs : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : rendement de Carnot · pompe à chaleur · efficacité d’un réfrigérateur
Exercices gratuits sur Moteurs thermiques et réfrigérateurs avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : premier principe sur un cycle, limite de Carnot, réfrigérateurs et pompes à chaleur.
Exercice gratuitFacile
Une pompe à chaleur de coefficient de performance 2,9 fournit 17 kW de chaleur à une maison. Trouvez la puissance thermique Q̇L qu’elle prélève à l’air extérieur.
Apprendre Moteurs thermiques et réfrigérateurs depuis zéro
1Ce qu’est une machine thermique
Une machine thermique (moteur thermique) transforme la chaleur en travail. Un moteur de voiture, une turbine à vapeur dans une centrale et un moteur à réaction sont tous des machines thermiques.
Toutes les machines thermiques fonctionnent de la même façon. Elles prélèvent de la chaleur QH à une source chaude, en transforment une partie en travail W, et rejettent le reste QC vers une source froide.
Les sources chaude et froide sont appelées réservoirs : une flamme, une chaudière, l’air extérieur, une rivière. Ils sont si grands que leurs températures ne changent pas.
Un moteur fonctionne en cycle : après chaque tour, il revient au même état. L’énergie ne peut donc pas s’accumuler à l’intérieur. Ce qui entre doit ressortir :
QH = W + QC
Auto-évaluation Un moteur absorbe 100 kJ de chaleur par cycle et produit 40 kJ de travail. Quelle quantité de chaleur rejette-t-il ?
140 kJ
2,5 kJ
40 kJ
60 kJ
Réponse: 60 kJ. L’énergie entrante égale l’énergie sortante : QC = QH − W = 100 − 40 = 60 kJ. Les additionner (140 kJ) compte le travail comme une entrée.
2Rendement et limite de Carnot
Le rendement thermique est la part de la chaleur absorbée qui devient du travail :
η = W / QH = 1 − QC / QH
Aucun moteur ne peut transformer toute sa chaleur en travail. Il y a toujours de la chaleur à rejeter. C’est le deuxième principe de la thermodynamique.
Le meilleur moteur possible entre deux températures est le moteur de Carnot idéal. Son rendement ne dépend que des températures des réservoirs, en kelvins :
ηmax = 1 − TC / TH
Convertissez toujours d’abord en kelvins : T(K) = T(°C) + 273,15. Avec des °C, la formule donne n’importe quoi.
Un moteur réel a toujours η < ηmax. Un moteur qui prétend dépasser la limite de Carnot est impossible.
Auto-évaluation Quel est le rendement maximal possible d’un moteur fonctionnant entre 327 °C et 27 °C ?
100%
50%
8,3%
91,7%
Réponse: 50%. En kelvins : 600,15 K et 300,15 K, donc ηmax = 1 − 300,15/600,15 = 50 %. Mettre les valeurs en °C dans la formule donne 1 − 27/327 = 91,7 %, ce qui est faux.
3Réfrigérateurs et pompes à chaleur
Un réfrigérateur fait fonctionner un moteur à l’envers. Du travail W est fourni, et la chaleur est pompée du côté froid vers le côté chaud.
Une pompe à chaleur est la même machine, utilisée pour chauffer : elle prélève de la chaleur dans l’air extérieur froid et la fournit à une maison chaude. Le bilan énergétique reste QH = W + QC.
Au lieu d’un rendement, on utilise le coefficient de performance (COP) : ce que l’on veut, divisé par le travail que l’on paie. Il est généralement supérieur à 1.
COPR = QC / W COPHP = QH / W = COPR + 1
Les limites de Carnot, toujours avec des températures en kelvins :
Auto-évaluation Une pompe à chaleur fournit 6 kW de chaleur à une maison tout en consommant 2 kW d’électricité. Quelle quantité de chaleur prélève-t-elle dans l’air extérieur ?
12 kW
3 kW
4 kW
8 kW
Réponse: 4 kW. QC = QH − W = 6 − 2 = 4 kW. Son COP est 6/2 = 3, donc 3 kW est le COP, pas un flux de chaleur.
4La méthode pas à pas
Faites un croquis de l’appareil entre ses deux réservoirs et dessinez des flèches pour QH, QC et W. Décidez s’il s’agit d’un moteur ou d’un réfrigérateur / d’une pompe à chaleur.
Écrivez le bilan énergétique QH = W + QC. Il est valable pour tout appareil, idéal ou non. Des puissances en kW fonctionnent comme des quantités en kJ.
Si des températures sont données, convertissez-les en kelvins.
Utilisez la bonne grandeur : η = W/QH pour un moteur, COPR = QC/W pour un réfrigérateur, COPHP = QH/W pour une pompe à chaleur.
Pour le meilleur appareil possible, utilisez la formule de Carnot. La chaleur ou le travail inconnu découle alors du bilan énergétique.
« Le plus de travail », « rendement maximal possible », « puissance minimale absorbée » et « réversible » renvoient tous à la limite de Carnot.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Une machine thermique fonctionne entre un réservoir chaud à 500 °C et un réservoir froid à 25 °C. Elle absorbe 3000 kJ de chaleur par cycle. Trouvez le travail maximal qu’elle pourrait produire. Un inventeur affirme obtenir 2000 kJ par cycle : est-ce possible ?
1
Dessiner le moteur
Le travail maximal vient d’un moteur de Carnot idéal fonctionnant entre les deux mêmes réservoirs.
2
Convertir en kelvins
TH = 500 + 273,15 = 773,15 K
TC = 25 + 273,15 = 298,15 K
3
Le rendement de Carnot
ηmax = 1 − 298,15 / 773,15 = 1 − 0,3856 = 0,614
Au mieux, 61,4 % de la chaleur peuvent devenir du travail.
4
Le travail maximal
Wmax = ηmax · QH = 0,6144 · 3000 = 1843 kJ
5
Vérifiez la réponse
Le moteur idéal rejette QC = 3000 · 298,15/773,15 = 1157 kJ. Alors W + QC = 1843 + 1157 = 3000 kJ, ce qui correspond à la chaleur absorbée.
6
Juger l’affirmation
2000 kJ dépasse les 1843 kJ que même un moteur parfait pourrait fournir. L’affirmation viole le deuxième principe, elle est donc impossible.
Réponse
Wmax ≈ 1843 kJ par cycle (ηmax ≈ 61,4 %), donc une affirmation de 2000 kJ est impossible.
6Erreurs fréquentes
Mettre des températures en °C dans les formules de Carnot. Utilisez toujours des kelvins.
Confondre les deux COP. Un réfrigérateur compte QC (chaleur extraite), une pompe à chaleur compte QH (chaleur fournie).
Utiliser le rendement de Carnot pour un moteur réel quand les chaleurs sont données. Il faut alors η = W/QH à partir des valeurs réelles.
Oublier que le travail est aussi restitué sous forme de chaleur par un réfrigérateur : QH = QC + W, donc la cuisine reçoit plus de chaleur que le réfrigérateur n’en extrait.
Écrire un rendement sous la forme 61,4 au lieu de 0,614 dans un calcul.
Auto-évaluation Quel est le COP maximal possible d’un réfrigérateur qui maintient son intérieur à 0 °C dans une cuisine à 27 °C ?
0,91
0
10,1
11,1
Réponse: 10,1. COPR,max = TC/(TH − TC) = 273,15/27 = 10,1. Mettre TH au numérateur donne la valeur de la pompe à chaleur, 11,1, et utiliser directement 0 °C donne 0.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : le premier principe pour un cycle. À partir de deux grandeurs parmi QH, W et QC, trouvez la troisième ou le rendement. Les variantes utilisent des centrales (MW), des réfrigérateurs et des pompes à chaleur avec un COP donné.
Moyen : la limite de Carnot. Trouvez ηmax ou Wmax à partir des températures des réservoirs. D’autres demandent un rendement du second principe (η/ηmax), la température du réservoir froid d’un moteur réversible, ou la chaleur rejetée par un réfrigérateur réversible.
Difficile : réfrigérateurs et pompes à chaleur à la limite de Carnot : trouvez COPmax ou la puissance minimale absorbée. D’autres enchaînent deux appareils, ou demandent l’entropie créée par un moteur réel.
Pour la puissance minimale absorbée : d’abord COPmax à partir des températures, puis Wmin = QH/COPHP,max ou QC/COPR,max.
Pour l’entropie créée par cycle : Sgen = QC/TC − QH/TH, qui doit être nulle ou positive.
Une pompe à chaleur de coefficient de performance 5 fournit 4 kW de chaleur à une maison. Trouvez la puissance thermique Q̇L qu’elle prélève à l’air extérieur.
COPHP = 5Q̇H = 4 kW
Calculer Q̇L(kW)
Afficher les indices
L’effet utile d’une pompe à chaleur est la chaleur fournie : COPHP = Q̇H/Ẇ.
Bilan d’énergie sur le cycle : Q̇L = Q̇H − Ẇ.
Ẇ = 0,8 kW.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Puissance consommée
Ẇ = Q̇H/COP = 4/5 = 0,8 kW
Chaleur prélevée dehors
Q̇L = Q̇H − Ẇ = 4 − 0,8 = 3,2 kW
Réponse
Q̇L = 3,2 kW
Exemple 2Moyen
Un moteur thermique réversible (de Carnot) reçoit 3100 kJ de chaleur d’une source à 625 °C et en rejette 977 kJ par cycle. Trouvez la température TL de la source froide en °C.
TH = 625 °CQH = 3100 kJQL = 977 kJ
Calculer TL(°C)
Afficher les indices
Pour un cycle réversible, les chaleurs sont dans le rapport des températures absolues : QL/QH = TL/TH.
Utilisez des températures absolues : K = °C + 273,15.
TH = 898,1 K.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Température absolue de la source
TH = 625 + 273,15 = 898,1 K
Rapport des chaleurs en réversible
TL = TH·QL/QH = 898,1·977/3100 = 283,1 K = 9,912 °C
Réponse
TL = 9,912 °C
Exemple 3Difficile
Une pompe à chaleur maintient une maison à 20 °C alors qu’il fait 2 °C dehors, en fournissant 14 kW de chaleur à la maison. Trouvez la puissance minimale à fournir Ẇmin.
TH = 20 °CTL = 2 °CQ̇H = 14 kW
Calculer Ẇmin(kW)
Afficher les indices
Le COP d’une pompe à chaleur est la chaleur fournie divisée par le travail reçu : COP = QH/W. La limite réversible vaut TH/(TH − TL).
Utilisez des températures absolues : K = °C + 273,15.
COP = 16,29.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.
Le moins de travail est demandé par une machine réversible, qui a le COP le plus élevé.
Ẇmin = Q̇H/COP = 14/16,29 = 0,8596 kW
Réponse
Ẇmin = 0,8596 kW
Questions et réponses
Moteurs thermiques et réfrigérateurs : de quoi s’agit-il ?
Une machine thermique (moteur thermique) transforme la chaleur en travail. Un moteur de voiture, une turbine à vapeur dans une centrale et un moteur à réaction sont tous des machines thermiques.
Toutes les machines thermiques fonctionnent de la même façon. Elles prélèvent de la chaleur QH à une source chaude, en transforment une partie en travail W, et rejettent le reste QC vers une source froide.
Moteurs thermiques et réfrigérateurs : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Moteurs thermiques et réfrigérateurs : quelles sont les erreurs fréquentes ?
COP = Q<sub>H</sub>/W donne le travail ; la chaleur prélevée dehors vaut alors Q<sub>L</sub> = QH − W.
C’est le travail fourni. La chaleur prélevée dehors vaut Q<sub>L</sub> = Q<sub>H</sub> − W.
Pour un cycle réversible, Q<sub>L</sub>/Q<sub>H</sub> = T<sub>L</sub>/T<sub>H</sub> n’est valable qu’avec des températures absolues. Convertissez d’abord en kelvins, puis revenez en °C.
Moteurs thermiques et réfrigérateurs : que couvrent les exercices ?
Facile: premier principe sur un cycle
Moyen: limite de Carnot
Difficile: réfrigérateurs et pompes à chaleur
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.