Conduction thermique : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : loi de Fourier · résistance thermique · transfert thermique
Exercices gratuits sur Conduction thermique avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : mur simple, mur composite, mur avec convection.
Exercice gratuitFacile
Un mur en polystyrène expansé a une épaisseur de 10 mm et une surface de 6 m². Ses faces sont à 24 °C et -11 °C. Trouvez le flux de chaleur par conduction Q̇ à travers le mur.
k = 0,035 W/(m·K)L = 10 mmA = 6 m²T1 = 24 °CT2 = -11 °C
La chaleur va toujours du chaud vers le froid. À l’intérieur d’un solide, elle se propage par conduction : les particules qui vibrent vite du côté chaud transmettent leur énergie à leurs voisines.
Par une journée d’hiver, la chaleur quitte ainsi une pièce chauffée à travers les murs. La quantité qui s’échappe dépend de la différence de température, de la surface du mur, de son épaisseur et du matériau.
Les matériaux diffèrent énormément. La conductivité thermiquek, en W/(m·K), indique avec quelle facilité la chaleur les traverse :
Béton : environ 1,4 W/(m·K). Brique : environ 0,72.
Bois : environ 0,17.
Laine minérale : environ 0,04. Polystyrène expansé : environ 0,035.
Un k faible signifie un bon isolant. C’est pourquoi les maisons ont une couche de laine ou de mousse à l’intérieur du mur.
Dans ce thème, les températures ne varient pas avec le temps. On parle de conduction en régime permanent.
Auto-évaluation Quel mur laisse passer le moins de chaleur, si tous font 100 mm d’épaisseur ?
Bois (k = 0,17)
Brique (k = 0,72)
Béton (k = 1,4)
Laine minérale (k = 0,04)
Réponse: Laine minérale (k = 0,04). Le flux de chaleur est proportionnel à k. La laine minérale a de loin la conductivité la plus faible, donc elle isole le mieux.
2La loi de Fourier et la résistance thermique
Pour un mur plan d’épaisseur L et d’aire A, dont les faces sont à T1 et T2, le flux de chaleur en watts est donné par la loi de Fourier :
Q̇ = k · A · (T1 − T2) / L
La température diminue linéairement à travers le mur. La densité de flux thermique est le flux par mètre carré : q″ = Q̇ / A, en W/m².
Il est utile de voir le mur comme une résistance, comme dans un circuit électrique. La différence de température pousse la chaleur, et le mur s’y oppose :
Q̇ = ΔT / R R = L / (k · A)
La résistance thermique R s’exprime en K/W. Un mur plus épais ou un k plus faible donne une résistance plus élevée et moins de pertes de chaleur. Une différence de température en °C a la même valeur en K.
Auto-évaluation Un mur en béton (k = 1,4 W/(m·K)) a 200 mm d’épaisseur et une aire de 10 m². Ses faces sont à 20 °C et 0 °C. Quel est le flux de chaleur ?
0,0007 W
1,4 W
140 W
1400 W
Réponse: 1400 W. Q̇ = 1,4 · 10 · 20 / 0,2 = 1400 W. Utiliser L = 200 (mm) donne 1,4 W, et oublier l’aire donne 140 W.
3Murs à plusieurs couches
Un mur réel comporte des couches : brique, isolant, plaque de plâtre. La même chaleur traverse chaque couche l’une après l’autre, donc les couches sont des résistances en série. Additionnez-les :
Rtotal = R1 + R2 + … Q̇ = (Tin − Tout) / Rtotal
Chaque couche prend une part de la chute de température totale proportionnelle à sa résistance : ΔT1 = Q̇ · R1. La couche d’isolant prend la plus grande chute.
L’air situé contre un mur oppose aussi une résistance à la chaleur. Cette résistance de convection vaut R = 1/(h · A), où h est le coefficient de convection en W/(m²·K). Ajoutez-la en série comme une couche.
Le coefficient U résume tout un mur, films d’air compris, comme le flux de chaleur par m² et par kelvin :
U = 1 / (Rtotal · A) Q̇ = U · A · ΔT
4La méthode pas à pas
Dessinez le mur avec ses couches. Notez chaque épaisseur en mètres et chaque k à côté.
Calculez la résistance de chaque couche : R = L/(k·A). Avec de l’air d’un côté, ajoutez R = 1/(h·A) pour ce côté.
Additionnez toutes les résistances en série.
Trouvez le flux de chaleur : Q̇ = (différence de température totale) / Rtotal.
Pour une température à l’intérieur du mur, partez d’une température connue et soustrayez Q̇ · R pour chaque couche traversée.
Une bonne vérification : les chutes de température dans toutes les couches doivent s’additionner pour donner la différence de température totale.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Un mur est constitué de 200 mm de brique (k = 0,72 W/(m·K)) et de 50 mm de laine minérale (k = 0,04 W/(m·K)), avec une aire de 10 m². Les faces extérieures sont à 20 °C et 0 °C. Trouvez le flux de chaleur à travers le mur et la température à l’interface entre les couches.
1
Dessiner le mur
La chaleur va du côté à 20 °C à travers la brique, puis à travers la laine, jusqu’au côté à 0 °C.
2
Résistance de chaque couche
R1 = 0,200 / (0,72 · 10) = 0,0278 K/W
R2 = 0,050 / (0,04 · 10) = 0,125 K/W
La fine couche de laine résiste beaucoup plus que l’épaisse couche de brique.
3
Résistance totale et flux de chaleur
Rtotal = 0,0278 + 0,125 = 0,1528 K/W
Q̇ = (20 − 0) / 0,1528 = 130,9 W
4
Température à l’interface
Partez de la face chaude et traversez la brique :
Ti = 20 − Q̇ · R1 = 20 − 130,9 · 0,0278 = 16,4 °C
5
Vérifiez la réponse
La chute à travers la laine est de 130,9 · 0,125 = 16,4 K, de 16,4 °C à 0 °C. Les deux chutes, 3,6 K + 16,4 K, s’additionnent pour donner les 20 K au total.
Réponse
Q̇ ≈ 131 W, et l’interface est à Ti ≈ 16,4 °C.
6Erreurs fréquentes
Laisser l’épaisseur en mm. Les valeurs de k sont par mètre, donc L doit être en mètres.
Faire la moyenne des valeurs de k de deux couches, ou les additionner. Additionnez plutôt les résistances L/(k·A).
Oublier l’aire : R = L/(k·A) pour tout le mur, R = L/k pour un mètre carré.
Partir du mauvais côté pour trouver la température d’une interface. La température baisse toujours dans le sens du flux de chaleur.
Omettre les films d’air (1/(h·A)) quand les températures de l’air intérieur et extérieur sont données.
Auto-évaluation Un mètre carré de mur comporte 100 mm de laine minérale (k = 0,04) et 100 mm de brique (k = 0,72). Les faces sont séparées de 20 K. Quel est le flux de chaleur ?
152 W
38 W
7,6 W
8 W
Réponse: 7,6 W. R = 0,1/0,04 + 0,1/0,72 = 2,5 + 0,139 = 2,64 K/W, donc Q̇ = 20/2,64 = 7,6 W. Faire la moyenne des k donne 38 W, et ignorer la brique donne 8 W.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : un seul mur. Trouvez le flux de chaleur Q̇ ou la densité de flux q″ avec la loi de Fourier.
Moyen : un mur composite de deux couches. Trouvez le flux de chaleur, ou la température Ti à l’interface entre les couches.
Difficile : un mur avec convection des deux côtés, entre l’air de la pièce et l’air extérieur. Trouvez le coefficient U, les pertes de chaleur, ou la température Ts de la surface intérieure.
Pour la température de la surface intérieure, partez de l’air de la pièce et ne traversez que le film d’air intérieur : Ts = Troom − Q̇ / (hi · A).
Exemple : le mur ci-dessus avec h = 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur a Rtotal = 0,0125 + 0,1528 + 0,004 = 0,1693 K/W, donc U = 1/(0,1693 · 10) = 0,59 W/(m²·K).
Un mur en bois a une épaisseur de 150 mm et une surface de 6 m². Ses faces sont à 20 °C et -9 °C. Trouvez le flux de chaleur par conduction Q̇ à travers le mur.
k = 0,17 W/(m·K)L = 150 mmA = 6 m²T1 = 20 °CT2 = -9 °C
Calculer Q̇(W)
Afficher les indices
Loi de Fourier pour une paroi plane : Q̇ = k·A·ΔT/L.
Convertissez l’épaisseur en mètres pour que les unités de k concordent.
ΔT = 29 K.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Loi de Fourier
ΔT = 20 − (-9) = 29 K
Q̇ = kAΔT/L = 0,17·6·29/(150/1000) = 197,2 W
Réponse
Q̇ = 197,2 W
Exemple 2Moyen
Un mur est composé de 50 mm de laine minérale et de 50 mm de bois, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 25 °C et 5 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = 5 °C
Calculer Ti(°C)
Afficher les indices
Chaque couche est une résistance thermique R = L/(kA). En série, elles s’additionnent.
Le même Q̇ traverse les deux couches, donc Ti = T₁ − Q̇·R₁.
R1 + R2 = 0,1287 K/W.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,1287 = 155,4 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 155,4·0,1042 = 8,81 °C
Réponse
Ti = 8,81 °C
Exemple 3Difficile
Un mur de 100 mm de laine minérale et 25 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -7 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 8 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
Calculer U(W/(m²·K))
Afficher les indices
Additionnez quatre résistances en série : convection intérieure, deux couches conductrices, convection extérieure.
U est le flux de chaleur par unité de surface et par degré : U = 1/(A·ΣR).
ΣR = 0,358 K/W.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·8) = 0,01838 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,358 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,358) = 0,3492 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,3492 W/(m²·K)
Questions et réponses
Conduction thermique : de quoi s’agit-il ?
La chaleur va toujours du chaud vers le froid. À l’intérieur d’un solide, elle se propage par conduction : les particules qui vibrent vite du côté chaud transmettent leur énergie à leurs voisines.
Par une journée d’hiver, la chaleur quitte ainsi une pièce chauffée à travers les murs. La quantité qui s’échappe dépend de la différence de température, de la surface du mur, de son épaisseur et du matériau.
Conduction thermique : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Conduction thermique : que couvrent les exercices ?
Facile: mur simple
Moyen: mur composite
Difficile: mur avec convection
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.