Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : cercle de Mohr · contraintes principales

Exercices gratuits sur Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : contraintes principales, cisaillement maximal et direction principale, contrainte sur une facette inclinée.

Exercice gratuitFacile
σx​ = 90σy​ = −20MPaélément principal

En un point d’une pièce chargée, les contraintes principales dans le plan valent σ₁ = 90 MPa et σ₂ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σavg qui agit sur les plans de cisaillement maximal dans le plan.

σ1 = 90 MPaσ2 = −20 MPa
MPa
Exercice suivant →
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Ce que vous travaillez

  1. Facilecontraintes principales
  2. Moyencisaillement maximal et direction principale
  3. Difficilecontrainte sur une facette inclinée

Comment résoudre les exercices de Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

  1. Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
  2. Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
  4. Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Erreurs fréquentes

  • Utiliser θ au lieu de 2θ dans les formules de changement de repère.
  • Additionner (σx − σy)/2 et τxy au lieu de les combiner avec Pythagore.
  • Se tromper de convention de signe pour la contrainte de cisaillement.

Formules clés

Centre
C = (σx + σy)/2
Rayon
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Contraintes principales
σ1,2 = C ± R
Direction principale
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Facette inclinée
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Apprendre Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes depuis zéro

Avant cela : Contrainte et déformation axiales

1Pourquoi la contrainte dépend de la direction

Dans la leçon sur l’axial, la contrainte était un seul nombre : la force divisée par l’aire. Mais la contrainte en un point dépend de la direction de la coupe que l’on considère.

Tordez un morceau de craie jusqu’à ce qu’il casse. Il se brise le long d’une spirale à 45°, pas tout droit en travers. Sur ce plan à 45°, la traction est la plus grande, et la craie est fragile en traction.

Pour décrire la contrainte en un point, les ingénieurs dessinent un petit carré, l’élément de contrainte, avec les contraintes sur ses faces :

σx​σy​τxy​xy
  • σx et σy sont des contraintes normales, perpendiculaires aux faces. Positif signifie traction (flèches vers l’extérieur), négatif signifie compression.
  • τxy est la contrainte de cisaillement, le long des faces. Elle tend à transformer le carré en losange.

Faites tourner le carré, et les contraintes sur ses faces changent. Cette leçon montre comment les trouver pour chaque direction, et quelles directions sont les plus dangereuses.

Auto-évaluation En un point, σx = −40 MPa. Que signifie cela ?
  1. Une compression de 40 MPa dans la direction x
  2. Une compression de 40 MPa dans la direction y
  3. Une contrainte de cisaillement de 40 MPa
  4. Une traction de 40 MPa dans la direction x

Réponse: Une compression de 40 MPa dans la direction x. Avec la convention de signes habituelle, la traction est positive, donc un σx négatif est une compression, qui agit sur les faces normales à x.

2Cercle de Mohr

Le cercle de Mohr est une image de toutes les directions à la fois. Chaque point du cercle correspond à une coupe possible passant par le point de la pièce.

Portez la contrainte normale σ vers la droite et la contrainte de cisaillement τ vers le haut. Placez ensuite deux points :

  • le point x en (σx, τxy) : les contraintes sur la face normale à x,
  • le point y en (σy, −τxy) : les contraintes sur la face normale à y.

Le cercle passe par ces deux points. Son centre C se trouve sur l’axe des σ, à mi-chemin entre eux. Son rayon R découle de Pythagore :

C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
στxyCσ1​σ2​R

Là où le cercle coupe l’axe des σ, la contrainte de cisaillement est nulle. Ces deux valeurs sont les contraintes principales, la plus grande et la plus petite contrainte normale au point. Le sommet du cercle donne le plus grand cisaillement dans le plan :

σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
Auto-évaluation σx = 50 MPa, σy = 10 MPa et τxy = 15 MPa. Que vaut σ1 ?
  1. 45 MPa
  2. 50 MPa
  3. 55 MPa
  4. 65 MPa

Réponse: 55 MPa. C = 30 MPa et R = √(20² + 15²) = 25 MPa, donc σ1 = 55 MPa. 65 additionne 20 + 15 au lieu d’utiliser Pythagore ; 50 ignore la contrainte de cisaillement.

3Angles : doublés sur le cercle

Faire tourner l’élément d’un angle θ déplace son point sur le cercle de Mohr de 2θ, dans le même sens. Le sens anti-horaire est positif.

La direction de σ1 est l’angle θp à partir de l’axe x, donné par :

tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)

Attention au quadrant. Si σx − σy est négatif, ajoutez 180° à 2θp quand τxy > 0, ou retranchez 180° quand τxy < 0. Divisez ensuite par deux.

Les plans de cisaillement maximal sont à 45° des directions principales (90° sur le cercle).

Pour un plan dont la normale est tournée de θ par rapport à l’axe x, les contraintes sont :

σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
Auto-évaluation En un point, tan 2θp = 1 et σx − σy est positif. Que vaut θp ?
  1. 22,5°
  2. 45°
  3. 90°
  4. −67,5°

Réponse: 22,5°. 2θp = 45°, donc θp = 22,5°. Répondre 45° oublie de diviser par deux l’angle lu sur le cercle. −67,5° est la direction de σ2, à 90° de là.

4La méthode pas à pas

  1. Notez σx, σy et τxy avec leurs signes : traction positive, compression négative.
  2. Trouvez le centre C = (σx + σy)/2.
  3. Trouvez le rayon R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  4. Contraintes principales : σ1 = C + R et σ2 = C − R. Plus grand cisaillement dans le plan : τmax = R.
  5. Directions : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), vérifiez le quadrant, puis divisez par deux.
  6. Pour un plan θ donné : utilisez les équations de σθ et τθ avec 2θ.

Un croquis rapide du cercle, même grossier, vous montre les signes et quel point est σ1.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Un point a σx = 80 MPa, σy = 20 MPa et τxy = 40 MPa. Trouvez les contraintes principales, τmax, la direction θp de σ1, et la contrainte normale sur un plan tourné de 45° dans le sens anti-horaire.

1

Observez l’élément

xy

Les deux contraintes normales sont des tractions. La contrainte de cisaillement est positive.

2

Centre et rayon

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3

Contraintes principales et cisaillement maximal

στxyCσ1​σ2​τmax​ = R
σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4

Direction principale

tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333

σx − σy est positif, donc aucune correction n’est nécessaire : 2θp = 53,1° et θp = 26,6° dans le sens anti-horaire à partir de x.

5

Plan tourné de 45°

Avec θ = 45°, 2θ = 90° : cos 2θ = 0 et sin 2θ = 1.

σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6

Vérifiez la réponse

La somme σx + σy = 100 MPa est égale à σ1 + σ2 = 100 MPa. Cette somme est la même pour toute rotation, c’est donc une vérification rapide.

De plus, 90 MPa se situe entre σ2 = 0 et σ1 = 100 MPa, comme toute contrainte normale doit le faire.

Réponse

σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmax = 50 MPa, θp = 26,6° et σ45° = 90 MPa.

6Erreurs fréquentes

  • Additionner directement (σx − σy)/2 et τxy. Le rayon les combine avec Pythagore.
  • Utiliser θ au lieu de 2θ dans les équations de transformation, ou oublier de diviser par deux l’angle lu sur le cercle.
  • Oublier un signe moins : une contrainte de compression doit être saisie comme un nombre négatif.
  • Placer le point y en (σy, +τxy). Il est en −τxy, de l’autre côté du centre par rapport à x.
  • Rater le quadrant de 2θp quand σx < σy.
Auto-évaluation σx = 60 MPa, σy = 0 et τxy = 40 MPa. Quelle est la contrainte de cisaillement maximale dans le plan ?
  1. 30 MPa
  2. 40 MPa
  3. 50 MPa
  4. 70 MPa

Réponse: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. 70 additionne 30 + 40 ; 30 ignore la contrainte de cisaillement ; 40 n’est que τxy.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : contraintes principales. Étant donnés σx, σy et τxy, trouvez σ1 ou σ2. Variantes : cisaillement pur, ou barre axiale coupée selon un angle.
  • Moyen : cisaillement maximal et direction principale. Trouvez τmax = R ou l’angle θp, entre −90° et 90°.
  • Difficile : contrainte sur un plan incliné. Utilisez l’équation de σθ ou de τθ avec 2θ. Des variantes combinent charge axiale et torsion, ou utilisent les contraintes principales dans une vérification de rupture comme von Mises ou Tresca.

Notez d’abord C et R. Presque toutes les questions de ce thème trouvent leur réponse à partir de ces deux nombres.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
σx​ = 30σy​ = 50τxy​MPa

En un point, σₓ = 30 MPa et σᵧ = 50 MPa, plus un certain cisaillement. Sur un élément tourné de 30°, la contrainte normale dans la direction tournée x′ vaut 87 MPa. Trouvez la contrainte normale σy′ dans la direction tournée y′.

σx = 30 MPaσy = 50 MPaσx′ = 87 MPaθ = 30°

Calculer σy′ (MPa)

Afficher les indices
  1. Vous n’avez besoin ni de τₓᵧ ni des formules de changement de repère.
  2. La somme des contraintes normales sur deux plans perpendiculaires est la même pour toute orientation (le centre du cercle de Mohr ne bouge pas).
  3. σₓ + σᵧ = 80 MPa.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Premier invariant des contraintes

Les points x′ et y′ sont aux extrémités opposées d’un diamètre, donc leur moyenne est toujours le centre C.

σx′ + σy′ = σx + σy
σy′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

Réponse

σy′ = −7 MPa
Exemple 2Moyen
σx​ = 0σy​ = 20τxy​ = −30MPa

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa et τₓᵧ = −30 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θp entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa

Calculer θp (°)

Afficher les indices
  1. Tracez le cercle de Mohr : point x en (σₓ, τₓᵧ), point y en (σᵧ, −τₓᵧ), centre C au milieu.
  2. tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). Attention au quadrant.
  3. C = 10 MPa, R = 31,62 MPa.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

στxyCσ1​σ2​

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108,4°

Angle sur l’élément

θp = −54,22°

Réponse

θp = −54,22°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

Exemple 3Difficile
60°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2,5 MPap

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 500 mm et d’épaisseur de paroi 5 mm, contient un gaz à une pression relative de 2,5 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 60° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de cisaillement |τn| qui agit le long du cordon de soudure.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 60°

Calculer |τn| (MPa)

Afficher les indices
  1. Contrainte circonférentielle σh = pr/t, contrainte axiale σa = pr/(2t). Il n’y a pas de cisaillement sur les plans axial et circonférentiel.
  2. Cisaillement le long du cordon : |τn| = (σh − σa)·sin α·cos α.
  3. σh = 125 MPa, σa = 62,5 MPa.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Cylindre à paroi mince : contrainte circonférentielle σh = pr/t et contrainte axiale σa = pr/(2t) ; ce sont les contraintes principales dans la paroi.

Contraintes dans la paroi

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2,5·250/5 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62,5 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σa) et y selon la circonférence (σh). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

|τn| = (125 − 62,5)·sin 60°·cos 60° = 27,06 MPa

Réponse

|τn| = 27,06 MPa

Questions et réponses

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes : de quoi s’agit-il ?

Dans la leçon sur l’axial, la contrainte était un seul nombre : la force divisée par l’aire. Mais la contrainte en un point dépend de la direction de la coupe que l’on considère.

Tordez un morceau de craie jusqu’à ce qu’il casse. Il se brise le long d’une spirale à 45°, pas tout droit en travers. Sur ce plan à 45°, la traction est la plus grande, et la craie est fragile en traction.

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
  2. Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
  4. Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Utiliser θ au lieu de 2θ dans les formules de changement de repère.
  • Additionner (σx − σy)/2 et τxy au lieu de les combiner avec Pythagore.
  • Se tromper de convention de signe pour la contrainte de cisaillement.
Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes : que couvrent les exercices ?
  • Facile: contraintes principales
  • Moyen: cisaillement maximal et direction principale
  • Difficile: contrainte sur une facette inclinée

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

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