Apprendre Rotation d’un solide depuis zéro
Avant cela : Lois de Newton, Travail et énergie
1Ce qu’est la rotation d’un solide indéformable
Un solide indéformable est un objet qui garde sa forme : un volant d’inertie, une poulie, une porte ou une roue qui roule. Dans ce thème, le solide tourne autour d’un axe.
Chaque point du solide tourne du même angle dans le même temps. On décrit donc le mouvement avec des grandeurs angulaires plutôt qu’avec des distances :
- θ : l’angle parcouru, en radians (rad). Un tour complet vaut 2π rad.
- ω : la vitesse angulaire, en rad/s.
- α : l’accélération angulaire, en rad/s².
Les machines donnent des vitesses en tours par minute (rpm). Convertissez-les avant de calculer :
ω = 2π·n / 60
Un point situé à la distance r de l’axe se déplace à la vitesse v = ω·r et a une accélération a = α·r le long de sa trajectoire.
Tout ce que vous savez sur le mouvement rectiligne a un jumeau en rotation : la force devient un moment, la masse devient un moment d’inertie, et ΣF = m·a devient ΣM = I·α.
Auto-évaluation Une roue tourne à 600 rpm. Quelle est sa vitesse angulaire en rad/s ?
- 10 rad/s
- 3770 rad/s
- 600 rad/s
- 62,8 rad/s
Réponse: 62,8 rad/s. ω = 2π·600/60 = 2π·10 ≈ 62,8 rad/s. 10 est en tours par seconde (le 2π manque), 3770 oublie de diviser par 60, et 600 est encore en rpm.
2Le moment d’inertie
La masse indique la difficulté à accélérer un corps en ligne droite. Le moment d’inertie I indique la difficulté à le mettre en rotation.
La masse éloignée de l’axe compte bien plus que celle qui en est proche, car elle compte avec le carré de sa distance :
I = Σ m·r² (unité : kg·m²)
Vous n’avez pas besoin d’additionner vous-même les morceaux. Apprenez ces résultats standard par rapport au centre de masse G :
- Tige mince de longueur L, axe passant par le milieu : m·L²/12.
- Disque plein ou cylindre plein de rayon R : ½·m·R².
- Anneau mince ou cerceau : m·R².
- Sphère pleine : (2/5)·m·R². Sphère creuse : (2/3)·m·R².
- Masse ponctuelle à la distance r : m·r².
Quand l’axe O ne passe pas par G, utilisez le théorème des axes parallèles (théorème de Huygens–Steiner). Ici d est la distance entre O et G :
IO = IG + m·d²
Une tige qui tourne autour de son extrémité a d = L/2, donc IO = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.
Certaines questions donnent un rayon de giration k au lieu d’une forme. Alors I = m·k². Pour un corps composé de plusieurs parties, calculez le I de chaque partie par rapport au même axe et additionnez.
Auto-évaluation Une tige homogène de masse 3 kg et de longueur 2 m tourne autour de l’une de ses extrémités. Quel est son moment d’inertie ?
- 1 kg·m²
- 12 kg·m²
- 3 kg·m²
- 4 kg·m²
Réponse: 4 kg·m². I = m·L²/3 = 3·4/3 = 4 kg·m², ou IG + m·d² = 1 + 3·1² = 4. 1 kg·m² est la valeur autour du centre, 3 kg·m² n’est que la partie m·d², et 12 kg·m² est m·L² sans aucun facteur.
3Moments, énergie et moment cinétique
Trois outils résolvent presque tous les problèmes de rotation. Choisissez celui qui correspond à la question.
1. Moments. La somme des moments par rapport à l’axe est égale à I·α. Utilisez-la pour les accélérations et les forces.
ΣM = I·α
Avec un couple constant, le mouvement angulaire a un α constant, et les équations de la cinématique ont des jumelles en rotation : ω = ω₀ + α·t et ω² = ω₀² + 2·α·θ.
2. Énergie. Un corps en rotation stocke de l’énergie cinétique. Un couple T qui tourne d’un angle θ fournit un travail, et la puissance d’un arbre en rotation est le couple multiplié par la vitesse angulaire :
E = ½·I·ω² W = T·θ P = T·ω
Un corps qui roule sans glisser se déplace et tourne en même temps, avec v = ω·r. Il possède les deux types d’énergie cinétique :
E = ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + c) c = I/(m·r²)
Le nombre c ne dépend que de la forme : 0,4 pour une sphère pleine, 0,5 pour un cylindre plein, 2/3 pour une sphère creuse et 1 pour un cerceau. Sur une pente, a = g·sin θ / (1 + c).
3. Moment cinétique. L = I·ω. Quand aucun moment extérieur n’agit autour de l’axe, L reste constant, même quand des corps s’accrochent et que de l’énergie cinétique est perdue :
I1·ω1 = I2·ω2
Auto-évaluation Un moteur fournit un couple de 100 N·m à 600 rpm. Quelle est sa puissance ?
- 1 kW
- 377 kW
- 6,28 kW
- 60 kW
Réponse: 6,28 kW. ω = 2π·600/60 = 62,8 rad/s, donc P = T·ω = 100·62,8 ≈ 6283 W = 6,28 kW. 60 kW utilise les rpm comme ω, 1 kW utilise les tours par seconde, et 377 kW oublie de diviser par 60.
4La méthode pas à pas
- Dessinez le corps et choisissez l’axe : le pivot ou l’arbre fixe, ou le centre pour un corps qui roule.
- Trouvez le moment d’inertie par rapport à cet axe. Utilisez les résultats standard et ajoutez m·d² quand l’axe est décalé.
- Convertissez chaque vitesse en rpm en rad/s avec ω = 2π·n/60.
- Choisissez l’outil. Accélérations et forces : ΣM = I·α (avec ΣF = m·a pour les parties qui se déplacent en ligne droite). Vitesses après une distance ou un angle : énergie. Chocs, prises soudaines et corps qui ramènent leur masse vers l’axe : moment cinétique.
- Reliez le mouvement rectiligne et le mouvement de rotation là où une corde ou un contact de roulement les unit : v = ω·r et a = α·r.
- Résolvez, et vérifiez le résultat avec un second outil si possible.
Pour un corps suspendu à une corde enroulée autour d’une poulie, dessinez deux diagrammes des forces : un pour le bloc (forces) et un pour la poulie (moments). La tension de la corde apparaît dans les deux.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détailléUn bloc de 2 kg est suspendu à une corde légère enroulée autour d’une poulie. La poulie est un disque plein homogène de masse 4 kg et de rayon 0,2 m sur un axe sans frottement. Le bloc est lâché sans vitesse initiale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération du bloc, la tension dans la corde et la vitesse du bloc après une chute de 1 m.
1La poulie est un disque plein qui tourne autour de son centre.
I = ½·M·R² = ½ · 4 · 0,2² = 0,08 kg·m²
2Prenez le bas comme positif pour le bloc. La pesanteur le tire vers le bas et la tension T de la corde le tire vers le haut.
m·g − T = m·a ⇒ 19,62 − T = 2·a
3Seule la tension a un moment par rapport à l’axe, avec le bras de levier R. La corde ne glisse pas, donc α = a/R.
T·R = I·α = I·a/R ⇒ T = I·a/R² = 0,08·a/0,04 = 2·a
4Remplacez T = 2·a dans l’équation du bloc.
19,62 − 2·a = 2·a ⇒ a = 19,62/4 = 4,905 m/s²
T = 2 · 4,905 = 9,81 N
La poulie tourne avec α = a/R = 4,905/0,2 ≈ 24,5 rad/s².
5L’accélération est constante et le bloc part du repos, utilisez donc v² = 2·a·s.
v = √(2 · 4,905 · 1) = √9,81 ≈ 3,13 m/s
6Utilisez plutôt l’énergie. L’énergie potentielle perdue devient énergie cinétique du bloc et de la poulie, avec ω = v/R.
m·g·h = ½·m·v² + ½·I·(v/R)² ⇒ 19,62 = v² + v²
Donc v² = 9,81 et v ≈ 3,13 m/s, comme précédemment.
Réponse a ≈ 4,91 m/s², T ≈ 9,81 N et v ≈ 3,13 m/s après 1 m.
6Erreurs fréquentes
- Laisser des vitesses en rpm dans ω, E = ½·I·ω² ou P = T·ω. Convertissez d’abord en rad/s.
- Utiliser le moment d’inertie par rapport au centre pour un corps qui tourne autour de son extrémité. Ajoutez m·d².
- Oublier l’énergie cinétique de rotation d’un corps qui roule ou d’une poulie.
- Traiter une sphère ou un disque au bout d’une tige comme une masse ponctuelle. Ajoutez aussi son propre I par rapport à son centre.
- Supposer que l’énergie cinétique se conserve quand des corps s’accrochent ou adhèrent. Utilisez plutôt le moment cinétique.
- Compter les tours en radians : N = θ/(2π).
Auto-évaluation Un cylindre plein de masse 2 kg roule sans glisser à 3 m/s. Quelle est son énergie cinétique totale ?
- 13,5 J
- 18 J
- 4,5 J
- 9 J
Réponse: 13,5 J. E = ½·m·v²·(1 + c) = ½·2·3²·1,5 = 13,5 J, avec c = 0,5 pour un cylindre plein. 9 J n’est que la partie en translation, 4,5 J n’est que la partie en rotation, et 18 J utilise c = 1, la valeur d’un cerceau.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
- Facile : moment d’inertie. Une tige autour d’un axe décalé, un pendule fait d’une tige et d’une sphère ou d’un disque, l’énergie cinétique d’un volant d’inertie, ou le couple ou le temps nécessaire pour lancer un volant d’inertie.
- Moyen : ΣM = I·α, travail et puissance. Une tige lâchée depuis l’horizontale, un bloc sur une poulie, les tours que fait un volant d’inertie freiné, le couple ou la puissance d’un arbre, ou la vitesse d’une tige qui oscille.
- Difficile : roulement et moment cinétique. Une sphère, un cylindre ou un cerceau qui roule sur une pente, le frottement nécessaire pour rouler, la part d’énergie de rotation, un anneau lâché sur un disque en rotation, une personne qui ramène des haltères vers elle, ou une balle qui frappe une tige suspendue.
Pour un volant d’inertie freiné, le frein fournit un travail égal à l’énergie stockée : T·θ = ½·I·ω². Divisez θ par 2π pour obtenir le nombre de tours.
Une tige articulée à une extrémité et lâchée depuis l’horizontale a α = 3·g/(2·L) juste après le lâcher. Son extrémité libre accélère à 1,5·g.
Pour une balle qui se loge dans une tige, le moment cinétique par rapport au pivot se conserve : m·v·d = (Itige + m·d²)·ω.
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