Cycles moteurs à gaz : exercices corrigés pas à pas

Exercices gratuits sur Cycles moteurs à gaz avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : cycle d’Otto, cycle Diesel, cycle de Brayton.

Exercice gratuitFacile
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Un cycle d’Otto idéal a un rapport volumétrique de 10,5. Au début de la compression, l’air est à 295 K, et la température la plus élevée du cycle est de 1800 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r = 10,5T1 = 295 KT3 = 1800 Kk = 1,4cv = 0,718 kJ/(kg·K)
kJ/kg
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Ce que vous travaillez

  1. Facilecycle d’Otto
  2. Moyencycle Diesel
  3. Difficilecycle de Brayton

Formules clés

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

Apprendre Cycles moteurs à gaz depuis zéro

Avant cela : Moteurs thermiques et réfrigérateurs, Loi des gaz parfaits

1Ce qu’est un cycle de puissance à gaz

Les moteurs de voiture et les turbines à gaz sont des moteurs thermiques qui utilisent l’air comme gaz de travail. L’air est comprimé, chauffé par la combustion du carburant, se détend en poussant sur un piston ou une turbine, puis est évacué.

Les vrais moteurs sont compliqués. Pour les calculer, les ingénieurs utilisent le modèle de l’air standard : une quantité fixe d’air parcourt un cycle fermé de quatre étapes simples, et la combustion du carburant est remplacée par un apport de chaleur.

Avec les hypothèses de l’air standard froid, l’air est un gaz parfait aux propriétés constantes : k = cp/cv = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K).

Vous rencontrerez trois cycles :

  • Otto : le moteur à essence. La chaleur est apportée à volume constant, comme une étincelle qui brûle le carburant presque instantanément.
  • Diesel : le moteur diesel. La chaleur est apportée à pression constante pendant que le piston se déplace.
  • Brayton : la turbine à gaz. L’air traverse un compresseur, une chambre de combustion et une turbine.

Le nombre le plus important d’un moteur à piston est son taux de compression r = v1/v2 : le plus grand volume divisé par le plus petit.

Auto-évaluation Un cylindre contient 0,5 L quand le piston est en bas et 0,05 L quand il est en haut. Quel est le taux de compression ?
  1. 0,1
  2. 0,45
  3. 10
  4. 9

Réponse: 10. r = plus grand volume / plus petit volume = 0,5/0,05 = 10. Diviser dans l’autre sens donne 0,1, et la différence des volumes (0,45 L) n’est pas un rapport.

2Étapes isentropiques et cycle d’Otto

Dans le cycle idéal, la compression et la détente se font sans frottement et sans échange de chaleur. Une telle étape est dite isentropique. Pour un gaz parfait, la température suit alors le rapport des volumes :

T2 / T1 = rk−1 = r0,4

Comprimer l’air à un huitième de son volume le réchauffe de 300 K à environ 689 K. C’est pourquoi un moteur diesel n’a pas besoin d’étincelle.

Le cycle d’Otto comporte quatre étapes, représentées sur un diagramme pression–volume :

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  1. 1 → 2 : compression isentropique. T est multipliée par r0,4.
  2. 2 → 3 : apport de chaleur à volume constant : qin = cv·(T3 − T2).
  3. 3 → 4 : détente isentropique. T est divisée par le même facteur r0,4.
  4. 4 → 1 : rejet de chaleur à volume constant : qout = cv·(T4 − T1).

Le travail net par kilogramme est w = qin − qout, et le rendement ne dépend que du taux de compression :

ηOtto = 1 − 1 / rk−1
Auto-évaluation Quel est le rendement thermique d’un cycle d’Otto idéal de taux de compression 10 ? (k = 1,4)
  1. 39,8%
  2. 60,2%
  3. 90%
  4. 96,0%

Réponse: 60,2%. 100,4 = 2,512, donc η = 1 − 1/2,512 = 60,2 %. Omettre l’exposant donne 1 − 1/10 = 90 % ; 39,8 % est 1/r0,4, la part qui est perdue.

3Cycles Diesel et Brayton

Le cycle Diesel apporte sa chaleur à pression constante. Le volume augmente pendant le chauffage selon le rapport de détente préalable (rapport d’injection) rc = v3/v2. À pression constante, la température augmente du même facteur :

T3 = rc · T2 qin = cp · (T3 − T2)
ηDiesel = 1 − (1 / rk−1) · (rck − 1) / (k · (rc − 1))

Le cycle de Brayton d’une turbine à gaz se décrit avec le rapport de pression rp = p2/p1 au lieu d’un rapport de volumes. La règle isentropique a alors un autre exposant :

T2 / T1 = rp(k−1)/k = rp0,2857
ηBrayton = 1 − 1 / rp(k−1)/k

Le compresseur consomme du travail et la turbine en fournit. Le travail net par kilogramme est ce qui reste :

wnet = cp · [(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Auto-évaluation Quel est le rendement d’un cycle de Brayton idéal de rapport de pression 8 ? (k = 1,4)
  1. 44,8%
  2. 55,2%
  3. 56,5%
  4. 87,5%

Réponse: 44,8%. 80,2857 = 1,811, donc η = 1 − 1/1,811 = 44,8 %. Utiliser l’exposant des volumes 0,4 (la formule d’Otto) donne 56,5 %, ce qui est faux pour un rapport de pression.

4La méthode pas à pas

  1. Identifiez le cycle (Otto, Diesel ou Brayton) et numérotez les quatre états de 1 à 4, en commençant avant la compression.
  2. Convertissez toutes les températures en kelvins.
  3. Compression 1 → 2 : T2 = T1·r0,4 pour un rapport de volumes, ou T1·rp0,2857 pour un rapport de pression.
  4. Apport de chaleur 2 → 3 : utilisez cv pour Otto (volume constant), cp pour Diesel et Brayton (pression constante).
  5. Détente 3 → 4 : divisez T3 par le même type de facteur (pour Diesel, utilisez v4/v3 = r/rc).
  6. Trouvez qout, puis w = qin − qout et η = w/qin. Comparez η avec la formule de ce cycle pour vérifier.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Un cycle d’Otto idéal a un taux de compression de 8. Au début de la compression, l’air est à 300 K, et la température maximale du cycle est de 1800 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid (k = 1,4, cv = 0,718 kJ/(kg·K)). Trouvez le rendement et le travail net par kilogramme d’air.

1

Dessiner le cycle

vp1234qin​qout​v2​v1​

L’état 1 est à 300 K. La température maximale est à l’état 3, donc T3 = 1800 K. Nous avons besoin de T2 et T4.

2

Compression 1 → 2

r0,4 = 80,4 = 2,297
T2 = 300 · 2,297 = 689,2 K
3

Chaleur apportée 2 → 3

La chaleur est apportée à volume constant, donc on utilise cv :

qin = 0,718 · (1800 − 689,2) = 797,5 kJ/kg
4

Détente et chaleur rejetée

T4 = 1800 / 2,297 = 783,5 K
qout = 0,718 · (783,5 − 300) = 347,1 kJ/kg
5

Travail net et rendement

w = 797,5 − 347,1 = 450,4 kJ/kg
η = 450,4 / 797,5 = 0,565 = 56,5%
6

Vérifiez la réponse

La formule d’Otto donne η = 1 − 1/2,297 = 56,5 %. C’est identique, donc les températures sont correctes.

Réponse

η ≈ 56,5 % et w ≈ 450 kJ/kg.

6Erreurs fréquentes

  • Utiliser des °C dans la relation isentropique. T2/T1 = r0,4 ne fonctionne qu’en kelvins.
  • Utiliser l’exposant k − 1 = 0,4 avec un rapport de pression. Un rapport de pression demande (k − 1)/k = 0,2857.
  • Utiliser cp pour le cycle d’Otto ou cv pour Diesel et Brayton. Le volume constant va avec cv, la pression constante avec cp.
  • Oublier le travail du compresseur dans un cycle de Brayton : le travail net est le travail de la turbine moins celui du compresseur.
  • Utiliser l’exposant k au lieu de k − 1.
Auto-évaluation De l’air à 27 °C est comprimé de façon isentropique avec un taux de compression de 8 (k = 1,4). Quelle est la température après compression ?
  1. 2401 K
  2. 5514 K
  3. 62,0 K
  4. 689,6 K

Réponse: 689,6 K. T1 = 300,15 K, donc T2 = 300,15 · 80,4 = 689,6 K. Utiliser 27 donne 62,0, omettre l’exposant donne 2401 K, et utiliser l’exposant 1,4 donne 5514 K.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : le cycle d’Otto. Trouvez son rendement à partir de r, la température T2 après compression, ou le travail net par kilogramme quand la température maximale est donnée.
  • Moyen : le cycle Diesel avec un taux de compression et un rapport de détente préalable. Trouvez T3 à la fin de l’apport de chaleur, la chaleur apportée qin, ou le rendement.
  • Difficile : le cycle de Brayton d’une turbine à gaz. Trouvez le rendement à partir du rapport de pression, ou le travail net par kilogramme à partir des températures d’entrée du compresseur et de la turbine.

Chaque question rappelle les valeurs de l’air standard froid. Vous n’avez besoin que de k = 1,4 et de cv ou cp.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
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Un cycle d’Otto idéal a un rapport volumétrique de 6. Au début de la compression, l’air est à 305 K, et la température la plus élevée du cycle est de 2000 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r = 6T1 = 305 KT3 = 2000 Kk = 1,4cv = 0,718 kJ/(kg·K)

Calculer w (kJ/kg)

Afficher les indices
  1. Trouvez T₂ après la compression isentropique.
  2. qin = cv·(T₃ − T₂), η = 1 − 1/rk−1.
  3. T₂ = 624,5 K.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Cycle d’Otto (moteur à allumage commandé) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à volume constant, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ : T₂ = T₁·rk−1 et η = 1 − 1/rk−1. Chaleur apportée : qin = cv·(T₃ − T₂) ; travail net w = η·qin.

Fin de compression

T2 = 305·60,4 = 624,5 K

Chaleur apportée à volume constant

qin = 0,718·(2000 − 624,5) = 987,6 kJ/kg

Travail net

η = 1 − 1/60,4 = 0,5116
w = η·qin = 0,5116·987,6 = 505,3 kJ/kg

Réponse

w = 505,3 kJ/kg
Exemple 2Moyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 16 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 2,2. Au début de la compression, l’air est à 310 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la chaleur apportée qin par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r = 16rc = 2,2T1 = 310 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)

Calculer qin (kJ/kg)

Afficher les indices
  1. Trouvez T₂ (compression isentropique) et T₃ = rc·T₂.
  2. qin = cp·(T₃ − T₂).
  3. T₂ = 939,7 K, T₃ = 2067 K.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Températures

T2 = 310·160,4 = 939,7 K
T3 = 2,2·939,7 = 2067 K

Chaleur apportée à pression constante

qin = 1,005·(2067 − 939,7) = 1133 kJ/kg

Réponse

qin = 1133 kJ/kg
Exemple 3Difficile
vP1234qin​qout​

Un cycle de Brayton idéal fonctionne avec un rapport de pression au compresseur de 20. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

rp = 20k = 1,4

Calculer η (%)

Afficher les indices
  1. Le rendement du cycle de Brayton idéal ne dépend que du rapport de pression et de k.
  2. η = 1 − 1/rp(k−1)/k.
  3. (k − 1)/k = 0,2857, rp0,2857 = 2,354.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Rendement thermique

η = 1 − 1/200,2857 = 1 − 1/2,354 = 57,51%

Réponse

η = 57,51%

Questions et réponses

Cycles moteurs à gaz : de quoi s’agit-il ?

Les moteurs de voiture et les turbines à gaz sont des moteurs thermiques qui utilisent l’air comme gaz de travail. L’air est comprimé, chauffé par la combustion du carburant, se détend en poussant sur un piston ou une turbine, puis est évacué.

Les vrais moteurs sont compliqués. Pour les calculer, les ingénieurs utilisent le modèle de l’air standard : une quantité fixe d’air parcourt un cycle fermé de quatre étapes simples, et la combustion du carburant est remplacée par un apport de chaleur.

Cycles moteurs à gaz : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Cycle d’Otto (moteur à allumage commandé) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à volume constant, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ : T₂ = T₁·rk−1 et η = 1 − 1/rk−1. Chaleur apportée : qin = cv·(T₃ − T₂) ; travail net w = η·qin.

Cycles moteurs à gaz : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • C’est la chaleur apportée. Seule la fraction η de celle-ci devient du travail net.
  • Dans le cycle d’Otto, la chaleur est apportée à volume constant : utilisez cv, pas cp.
  • La chaleur est apportée entre l’état 2 et l’état 3. Trouvez d’abord T2 après la compression.
Cycles moteurs à gaz : que couvrent les exercices ?
  • Facile: cycle d’Otto
  • Moyen: cycle Diesel
  • Difficile: cycle de Brayton

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

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