Travail et énergie : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : théorème de l’énergie cinétique · énergie mécanique · conservation de l’énergie

Exercices gratuits sur Travail et énergie avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : chute libre, pente avec frottement, rampe, frottement et ressort.

Exercice gratuitFacile
m = 5 kggh = 38 m

Une balle de 5 kg est lâchée sans vitesse d’une hauteur de 38 m. Négligez la résistance de l’air. Trouvez sa vitesse v juste avant qu’elle touche le sol.

m = 5 kgh = 38 mg = 9,81 m/s²
m/s
Exercice suivant →
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Ce que vous travaillez

  1. Facilechute libre
  2. Moyenpente avec frottement
  3. Difficilerampe, frottement et ressort

Formules clés

Énergie cinétique
Ek = ½mv²
Énergie potentielle
Ep = mgh
Bilan d’énergie
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
Travail du frottement
W = μ·N·d
Puissance
P = W/t

Apprendre Travail et énergie depuis zéro

Avant cela : Lois de Newton

1Ce qu’est l’énergie

L’énergie est la capacité de mettre quelque chose en mouvement ou de le modifier. Elle se mesure en joules (J). Un joule est l’énergie nécessaire pour pousser avec 1 N sur 1 m.

L’énergie n’est jamais créée ni détruite. Elle ne fait que changer de forme. Une balle qui tombe transforme de la hauteur en vitesse. Une voiture qui freine transforme de la vitesse en chaleur dans ses freins.

Cela offre un raccourci puissant. Au lieu de suivre le mouvement seconde par seconde avec les forces, on compare l’énergie au départ et à l’arrivée.

Dans ce thème, vous rencontrez trois formes d’énergie mécanique : l’énergie de mouvement, l’énergie de hauteur et l’énergie stockée dans un ressort. Le frottement retire de l’énergie et la transforme en chaleur.

Auto-évaluation Une caisse glisse sur un sol rugueux et s’arrête. Qu’est devenue son énergie cinétique ?
  1. Elle a été détruite
  2. Elle est devenue de l’énergie potentielle
  3. Elle est toujours stockée dans la caisse sous forme de vitesse
  4. Le frottement l’a transformée en chaleur

Réponse: Le frottement l’a transformée en chaleur. L’énergie ne peut pas disparaître. Sur un sol horizontal, la hauteur ne change pas, donc toute l’énergie cinétique est passée en chaleur par frottement.

2Travail et énergie cinétique

Une force fournit un travail quand elle déplace quelque chose. Le travail est la force multipliée par la distance parcourue dans la direction de la force :

W = F · d · cos α

Ici α est l’angle entre la force et le mouvement. Une force dans le sens du mouvement (α = 0) fournit le travail maximal. Une force perpendiculaire (α = 90°) ne fournit aucun travail.

L’énergie de mouvement est l’énergie cinétique. Elle croît avec le carré de la vitesse : doubler la vitesse donne quatre fois plus d’énergie :

Ek = ½ · m · v²

Le travail de toutes les forces réunies est égal à la variation de l’énergie cinétique. C’est le théorème de l’énergie cinétique.

Auto-évaluation Une corde tire une caisse sur 4 m le long d’un sol horizontal avec une force de 50 N, à 60° au-dessus de l’horizontale. Quel travail la corde fournit-elle ?
  1. 100 J
  2. 12,5 J
  3. 173 J
  4. 200 J

Réponse: 100 J. W = 50 · 4 · cos 60° = 100 J. Oublier le cos α donne 200 J, et utiliser sin 60° donne 173 J.

3Énergie potentielle : hauteur et ressorts

Un objet situé plus haut peut tomber et prendre de la vitesse. L’énergie qu’il possède du fait de sa hauteur est l’énergie potentielle de pesanteur :

Ep = m · g · h

Seule la variation de hauteur compte, donc vous choisissez vous-même le niveau zéro. Le point le plus bas du mouvement est généralement le choix le plus simple.

Un ressort comprimé ou étiré d’une distance x stocke de l’énergie élastique. Ici k est la raideur du ressort en N/m :

Es = ½ · k · x²

Rassemblez tout dans un seul bilan énergétique. Wf est le travail contre le frottement, qui part sous forme de chaleur :

Ek1 + Ep1 + Es1 = Ek2 + Ep2 + Es2 + Wf

Pour une chute libre sans vitesse initiale et sans frottement, on obtient m·g·h = ½·m·v², donc v = √(2gh). La masse se simplifie.

Auto-évaluation Une pierre est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de 20 m. En négligeant la résistance de l’air, quelle est sa vitesse en arrivant au sol ? (g = 9,81 m/s²)
  1. 14,0 m/s
  2. 19,8 m/s
  3. 196 m/s
  4. 392 m/s

Réponse: 19,8 m/s. v = √(2 · 9,81 · 20) = √392,4 = 19,8 m/s. 392 m/s oublie la racine carrée, et 14,0 m/s oublie le facteur 2 venant du ½ dans ½·m·v².

4La méthode pas à pas

  1. Dessinez la situation. Marquez le point de départ 1 et le point d’arrivée 2, et choisissez le niveau zéro de la hauteur.
  2. Écrivez l’énergie au point 1 : Ek1 = ½·m·v1², Ep1 = m·g·h1, et ½·k·x1² si un ressort est comprimé.
  3. Écrivez l’énergie au point 2 de la même manière. Laissez l’inconnue sous forme de symbole.
  4. Calculez le travail contre le frottement. Sur une pente, la force normale vaut N = m·g·cos θ, donc Wf = μ·m·g·cos θ·d, avec d la distance parcourue en glissant.
  5. Remplacez dans le bilan énergétique et résolvez pour l’inconnue.

Dessinez aussi les forces, même si vous n’utilisez que l’énergie. Le dessin montre quelles forces travaillent et lesquelles ne travaillent pas.

θmgNF = μNvm

La force normale N est perpendiculaire au mouvement, donc elle ne fournit aucun travail. Elle compte seulement parce que le frottement en dépend.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Un bloc de 2 kg glisse sans vitesse initiale le long d’une pente inclinée de 30° sur l’horizontale. Le coefficient de frottement cinétique est 0,2. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez sa vitesse après avoir glissé de 5 m le long de la pente.

1

Dessiner la situation

θmd = 5 mh = 2,5 mv = ?

Le point 1 est le départ, le point 2 se trouve 5 m plus bas sur la pente. Placez le niveau zéro de la hauteur au point 2.

2

Hauteur perdue

Le bloc glisse de 5 m le long de la pente, mais il ne descend que de la partie verticale de ce déplacement :

h = d · sin θ = 5 · sin 30° = 2,5 m
Ep1 = m · g · h = 2 · 9,81 · 2,5 = 49,05 J
3

Travail contre le frottement

Sur la pente, la force normale est plus petite que le poids :

N = m · g · cos θ = 2 · 9,81 · cos 30° = 16,99 N
Wf = μ · N · d = 0,2 · 16,99 · 5 = 16,99 J
4

Bilan d’énergie

Le bloc part du repos, donc Ek1 = 0. Au point 2, la hauteur est nulle :

Ep1 = Ek2 + Wf
Ek2 = 49,05 − 16,99 = 32,06 J
5

Trouver la vitesse

½ · 2 · v² = 32,06
v = √32,06 = 5,66 m/s
6

Vérifiez la réponse

Sans frottement, le bloc atteindrait √(2 · 9,81 · 2,5) = 7,00 m/s. Le frottement doit le ralentir, et 5,66 m/s est plus lent. La réponse est cohérente.

La masse se simplifie à la fin : v² = 2·g·d·(sin θ − μ·cos θ) = 32,06, ce qui donne les mêmes 5,66 m/s.

Réponse

Le bloc atteint v ≈ 5,66 m/s après avoir glissé de 5 m.

6Erreurs fréquentes

  • Prendre le poids m·g comme force normale sur une pente. Sur une pente, N = m·g·cos θ.
  • Prendre la distance le long de la pente comme hauteur. La perte de hauteur vaut d·sin θ.
  • Oublier la racine carrée à la fin : ½·m·v² donne v², pas v.
  • Ajouter le travail du frottement à l’énergie finale avec le mauvais signe. Le frottement retire toujours de l’énergie au mouvement.
  • Écrire l’énergie d’un ressort sous la forme k·x au lieu de ½·k·x², ou laisser x en cm.
Auto-évaluation Un bloc de 1 kg glisse de 2 m le long d’une pente de 30° avec μ = 0,5. Quel travail est fourni contre le frottement ? (g = 9,81 m/s²)
  1. 19,6 J
  2. 4,91 J
  3. 8,50 J
  4. 9,81 J

Réponse: 8,50 J. Wf = μ · m · g · cos θ · d = 0,5 · 1 · 9,81 · cos 30° · 2 = 8,50 J. Utiliser m·g comme force normale donne 9,81 J, et utiliser sin θ au lieu de cos θ donne 4,91 J.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : chute libre et autres conversions simples. Une balle lâchée (trouver v ou Ek), un pendule lâché depuis un angle, un bloc qui heurte un ressort, le travail d’une corde qui tire, ou la puissance d’un palan (P = m·g·h / t).
  • Moyen : un bloc sur une pente avec frottement : trouver la vitesse après une distance ou le travail contre le frottement. Les variantes comprennent une voiture qui dérape jusqu’à l’arrêt, un lance-balle à ressort et la puissance nécessaire pour monter une côte.
  • Difficile : plusieurs étapes dans une seule question. Par exemple une rampe lisse, puis une bande rugueuse, puis un ressort : trouver la vitesse au niveau du ressort ou la compression maximale. D’autres combinent un bloc tiré, une boucle ou deux blocs reliés.

Dans les questions difficiles, écrivez un seul bilan énergétique du tout début à la toute fin. Ajoutez le travail du frottement de chaque partie rugueuse.

Pour la compression maximale du ressort, le bloc s’arrête un instant, donc toute son énergie cinétique est dans le ressort : ½·m·v² = ½·k·x².

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
m = 0,5 kggh = 11 m

Une balle de 0,5 kg est lâchée sans vitesse d’une hauteur de 11 m. Négligez la résistance de l’air. Trouvez sa vitesse v juste avant qu’elle touche le sol.

m = 0,5 kgh = 11 mg = 9,81 m/s²

Calculer v (m/s)

Afficher les indices
  1. L’énergie se conserve : l’énergie potentielle en haut devient de l’énergie cinétique en bas.
  2. mgh = ½mv², donc la masse se simplifie : v = √(2gh).
  3. 2gh = 215,8 m²/s².
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).

Bilan d’énergie

Départ au repos à la hauteur h ; arrivée au niveau du sol à la vitesse v.

mgh = ½mv² → v = √(2gh)
v = √(2·9,81·11) = 14,69 m/s

Réponse

v = 14,69 m/s
Exemple 2Moyen
45°d = 19 mμ = 0,35

Un bloc glisse sans vitesse initiale sur une pente inclinée de 45° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement dynamique vaut 0,35. Trouvez sa vitesse v après avoir glissé de 19 m le long de la pente.

θ = 45°μ = 0,35d = 19 mg = 9,81 m/s²

Calculer v (m/s)

Afficher les indices
  1. La réaction normale sur une pente vaut N = mg·cos θ, donc le frottement vaut μmg·cos θ.
  2. Bilan d’énergie sur la distance d : mg·d·sin θ = ½mv² + μmg·cos θ·d. La masse se simplifie.
  3. sin θ = 0,7071, cos θ = 0,7071.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).

Bilan d’énergie le long de la pente

Le bloc descend de d·sin θ pendant que le frottement retire μmg·cos θ·d. La masse se simplifie.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9,81·19·(0,7071 − 0,35·0,7071)) = 13,09 m/s

Réponse

v = 13,09 m/s
Exemple 3Difficile
h = 4,5 mL = 4 mμ = 0,15k = 500 N/m

Un bloc de 2,5 kg est lâché sans vitesse à une hauteur de 4,5 m sur une rampe lisse. En bas, il traverse une bande horizontale rugueuse de 4 m (μ = 0,15) puis heurte un ressort (k = 500 N/m) sur une surface lisse. Trouvez la compression maximale x du ressort.

m = 2,5 kgh = 4,5 mL = 4 mμ = 0,15k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

Calculer x (cm)

Afficher les indices
  1. Suivez l’énergie du lâcher jusqu’à la fin : l’énergie potentielle en haut, moins les pertes par frottement sur la bande rugueuse, finit en énergie cinétique ou en énergie du ressort.
  2. Le frottement sur la bande plane retire μ·mg·L. À la compression maximale, le bloc est un instant immobile, donc toute l’énergie restante vaut ½kx².
  3. mg(h − μL) = 95,65 J.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).

Énergie restant après la bande rugueuse

La rampe est lisse, donc seule la bande retire de l’énergie.

mgh − μmgL = 24,53·(4,5 − 0,15·4) = 95,65 J

Compression maximale

½kx² = 95,65 → x = √(2·95,65/500) = 0,6185 m = 61,85 cm

Réponse

x = 61,85 cm

Questions et réponses

Travail et énergie : de quoi s’agit-il ?

L’énergie est la capacité de mettre quelque chose en mouvement ou de le modifier. Elle se mesure en joules (J). Un joule est l’énergie nécessaire pour pousser avec 1 N sur 1 m.

L’énergie n’est jamais créée ni détruite. Elle ne fait que changer de forme. Une balle qui tombe transforme de la hauteur en vitesse. Une voiture qui freine transforme de la vitesse en chaleur dans ses freins.

Travail et énergie : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).

Travail et énergie : que couvrent les exercices ?
  • Facile: chute libre
  • Moyen: pente avec frottement
  • Difficile: rampe, frottement et ressort

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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