Engrenages et trains d’engrenages : exercices corrigés pas à pas

Exercices gratuits sur Engrenages et trains d’engrenages avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : rapport de vitesses, couple et puissance, train d’engrenages composé.

Exercice gratuitFacile
N1​ = 30N2​ = 48

Une roue menante de 30 dents tourne à 1500 rpm et engrène avec une roue de 48 dents. Trouvez la vitesse n2 de la roue menée.

N1 = 30N2 = 48n1 = 1500 rpm
rpm
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Ce que vous travaillez

  1. Facilerapport de vitesses
  2. Moyencouple et puissance
  3. Difficiletrain d’engrenages composé

Formules clés

Roues en prise
n1·N1 = n2·N2
Couple
T2 = T1·(N2/N1)·η
Puissance
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Train composé
rapport total = produit des rapports de chaque étage

Apprendre Engrenages et trains d’engrenages depuis zéro

1Ce que font les engrenages

Les engrenages transmettent la rotation d’un arbre à un autre. Leurs dents s’emboîtent, donc ils ne peuvent pas glisser.

Un réducteur remplit deux fonctions à la fois. Il change la vitesse de rotation, et il change le couple, la force de rotation sur l’arbre. Plus lent signifie plus fort.

Un moteur électrique tourne vite mais avec peu de couple. Une paire d’engrenages le ralentit pour qu’il puisse entraîner un convoyeur lourd ou un treuil. Un vélo en petite vitesse fonctionne de la même façon.

L’engrenage entraîné par le moteur est le menant (souvent un petit engrenage appelé pignon). L’engrenage qu’il fait tourner est le mené.

N1​, n1​N2​, n2​

Deux engrenages en prise tournent en sens opposés.

Auto-évaluation Un petit engrenage entraîne un grand engrenage. Par rapport au petit engrenage, le grand tourne…
  1. plus lentement, avec moins de couple
  2. plus lentement, avec plus de couple
  3. plus vite, avec plus de couple
  4. à la même vitesse dans le même sens

Réponse: plus lentement, avec plus de couple. Le grand engrenage a besoin de plusieurs tours du petit pour faire un tour, donc il est plus lent. La puissance est presque la même, donc l’arbre plus lent transmet plus de couple.

2Le rapport de vitesses

Au point où deux engrenages se touchent, leurs dents défilent à la même cadence. Si le pignon de 20 dents fait un tour, il fait défiler 20 dents du grand engrenage. Un engrenage de 60 dents ne fait alors qu’un tiers de tour.

Ainsi, les vitesses n (en rpm) et les nombres de dents N sont reliés par :

n1 · N1 = n2 · N2

Le rapport d’engrenage est i = N2 / N1 = n1 / n2. Un rapport de 3 signifie que la sortie tourne trois fois plus lentement.

Dans un train d’engrenages composé, deux engrenages sont montés sur le même arbre intermédiaire, donc ils tournent à la même vitesse. Le rapport total est le produit des rapports des étages :

itotal = (NB / NA) · (ND / NC)

Un engrenage intermédiaire (fou) placé entre deux autres (chacun sur son propre arbre) ne change que le sens de rotation. La vitesse du dernier engrenage se déduit uniquement du premier et du dernier.

Auto-évaluation Un engrenage de 20 dents tournant à 900 rpm entraîne un engrenage de 60 dents. À quelle vitesse tourne l’engrenage de 60 dents ?
  1. 1,33 rpm
  2. 2700 rpm
  3. 300 rpm
  4. 900 rpm

Réponse: 300 rpm. n2 = n1 · N1/N2 = 900 · 20/60 = 300 rpm. Multiplier par 60/20 donne 2700 rpm : le grand engrenage tournerait alors plus vite, ce qui est l’inverse de la réalité.

3Couple et puissance

La puissance est le couple multiplié par la vitesse angulaire. La vitesse angulaire doit être en rad/s, donc convertissez d’abord depuis les rpm :

ω = 2π · n / 60 P = T · ω

Une paire d’engrenages transmet presque toute la puissance. Seuls quelques pour cent sont perdus par frottement, décrits par le rendement η (typiquement 0,95 à 0,98) :

P2 = η · P1

Comme la vitesse diminue du rapport d’engrenage tandis que la puissance reste presque la même, le couple augmente de ce même rapport :

T2 = T1 · (N2 / N1) · η
Auto-évaluation Un moteur de 3 kW tourne à 955 rpm. Quel couple fournit-il ?
  1. 0,03 N·m
  2. 188 N·m
  3. 3,14 N·m
  4. 30 N·m

Réponse: 30 N·m. ω = 2π · 955/60 = 100 rad/s, donc T = 3000/100 = 30 N·m. Diviser directement par les rpm donne 3,14, laisser la puissance en kW donne 0,03, et oublier le 2π donne 188.

4La méthode pas à pas

  1. Faites un croquis des engrenages et notez le nombre de dents de chacun. Repérez l’arbre d’entrée et l’arbre de sortie.
  2. Trouvez le rapport de chaque étage, dents du mené / dents du menant, et multipliez les étages pour un train composé.
  3. Vitesse de sortie : nout = nin / itotal.
  4. Couple d’entrée du moteur : convertissez les rpm en rad/s avec ω = 2π·n/60, puis T = P/ω.
  5. Couple de sortie : multipliez par le rapport et par le rendement de chaque engrènement.

Vérifiez le sens de la réponse : une réduction rend la sortie plus lente et son couple plus grand.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Un moteur de 4 kW tournant à 1200 rpm entraîne un pignon de 20 dents, qui engrène avec un engrenage de 60 dents. La paire d’engrenages a un rendement de 96 %. Trouvez la vitesse de l’engrenage et le couple de sortie sur son arbre.

1

Dessiner la paire

20, 1200 rpm60, n2​ = ?

Le pignon est le menant. Le rapport d’engrenage est i = 60/20 = 3.

2

Vitesse de sortie

n2 = n1 · N1 / N2 = 1200 · 20 / 60 = 400 rpm
3

Couple d’entrée

Convertissez d’abord la vitesse du moteur en rad/s :

ω1 = 2π · 1200 / 60 = 125,7 rad/s
T1 = P / ω1 = 4000 / 125,7 = 31,83 N·m
4

Couple de sortie

T2 = T1 · (N2 / N1) · η = 31,83 · 3 · 0,96 = 91,7 N·m
5

Vérifiez la réponse

Puissance de sortie : P2 = 0,96 · 4000 = 3840 W, et ω2 = 2π · 400/60 = 41,89 rad/s.

T2 = 3840 / 41,89 = 91,7 N·m

Le même couple, trouvé à partir de la puissance. La réponse est correcte.

Réponse

L’engrenage tourne à n2 = 400 rpm avec un couple de sortie de T2 ≈ 91,7 N·m.

6Erreurs fréquentes

  • Inverser le rapport des dents. Un engrenage mené plus grand doit tourner plus lentement.
  • Utiliser des rpm dans P = T·ω. Convertissez en rad/s avec ω = 2π·n/60.
  • Diviser le couple par le rapport au lieu de le multiplier. Une réduction augmente le couple.
  • Diviser par le rendement. Les frottements diminuent le couple de sortie, donc multipliez par η.
  • Compter un engrenage intermédiaire dans le rapport, ou multiplier les dents de deux engrenages montés sur le même arbre.
Auto-évaluation Un pignon de 20 dents transmet 10 N·m et entraîne un engrenage de 60 dents. Le rendement est de 95 %. Quel est le couple de sortie ?
  1. 28,5 N·m
  2. 3,17 N·m
  3. 30 N·m
  4. 31,6 N·m

Réponse: 28,5 N·m. T2 = 10 · (60/20) · 0,95 = 28,5 N·m. Diviser par le rapport donne 3,17, ignorer le rendement donne 30, et diviser par η donne 31,6.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : le rapport de vitesses. Trouvez la vitesse de l’engrenage mené, ou le nombre de dents nécessaire pour une vitesse donnée. Les variantes comprennent un engrenage intermédiaire, et la taille des engrenages à partir du module m : diamètre primitif d = m·N, entraxe a = m·(N1 + N2)/2.
  • Moyen : couple et puissance. Un moteur de puissance et de vitesse données entraîne une paire d’engrenages : trouvez le couple d’entrée ou de sortie. D’autres demandent la force tangentielle sur les dents, Ft = 2T/d, ou font intervenir une transmission à vis sans fin (rapport = dents de la roue / filets de la vis).
  • Difficile : un train d’engrenages composé. Trouvez la vitesse de sortie, les dents nécessaires sur le dernier engrenage, ou le couple de sortie avec un rendement pour chaque engrènement. Certaines questions utilisent un train épicycloïdal.

Pour un train composé comme A (20) → B (60), puis C (15) → D (45) : i = 3 · 3 = 9, donc une entrée de 900 rpm donne 100 rpm en sortie.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
d1​ = 160 mmd2​ = 400 mm1500 rpmn2​ = ?

Un moteur tournant à 1500 tr/min entraîne une poulie de 160 mm. Une courroie la relie à une poulie de 400 mm. Sans glissement, trouvez la vitesse n2 de la poulie menée.

n1 = 1500 rpmd1 = 160 mmd2 = 400 mm

Calculer n2 (rpm)

Afficher les indices
  1. La courroie se déplace à une seule vitesse, donc les deux jantes ont la même vitesse périphérique.
  2. π·d₁·n₁ = π·d₂·n₂.
  3. n₂ = 1500·160/400.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Transmissions par courroie : sans glissement, les deux poulies ont la même vitesse périphérique v = π·d·n/60, donc n₁·d₁ = n₂·d₂ et le rapport de vitesses vaut d₂/d₁. Le glissement s ralentit un peu la poulie menée : n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La puissance transmise est P = (T₁ − T₂)·v, avec T₁ la tension du brin tendu et T₂ celle du brin mou. Le frottement limite le rapport des tensions : T₁/T₂ = eμθ, où θ est l’angle d’enroulement en radians sur la plus petite poulie ; pour une courroie ouverte, θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) avec l’entraxe C.

Vitesses périphériques égales

n₁·d₁ = n₂·d₂

Vitesse de la poulie menée

n2 = 1500·160/400 = 600 rpm

Réponse

n2 = 600 rpm
Exemple 2Moyen
N1​ = 16N2​ = 80

Un moteur de 7,5 kW tournant à 1450 rpm entraîne un pignon de 16 dents, qui engrène avec une roue de 80 dents. L’engrenage a un rendement de 98 %. Trouvez le couple de sortie T2 sur l’arbre de la roue.

P = 7,5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 16N2 = 80η = 98%

Calculer T2 (N·m)

Afficher les indices
  1. Couple moteur à partir de la puissance : T = P/ω, avec ω = 2π·n/60 en rad/s.
  2. ω₁ = 151,8 rad/s.
  3. L’engrenage multiplie le couple par N₂/N₁ (et en perd un peu par frottement).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.

Couple moteur

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Couple de sortie

T2 = 49,39·80/16·0,98 = 242 N·m

Réponse

T2 = 242 N·m
Exemple 3Difficile
A = 32B = 60C = 50D = ?

Dans un train d’engrenages composé, la roue A (32 dents) sur l’arbre d’entrée tourne à 960 tr/min et entraîne la roue B (60 dents). La roue C (50 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D sur l’arbre de sortie. La sortie doit tourner à 320 tr/min. Combien de dents ND la roue D doit-elle avoir ?

nin = 960 rpmA = 32B = 60C = 50nout = 320 rpm

Calculer ND

Afficher les indices
  1. Trouvez d’abord la vitesse de l’arbre intermédiaire : nB = nin·A/B.
  2. Puis C entraîne D : ND = C·nB/nout.
  3. nB = 512 rpm.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Vitesse de l’arbre intermédiaire

nB = nC = 960·32/60 = 512 rpm

Dents de la roue D

ND = C·nC/nout = 50·512/320 = 80

Réponse

ND = 80

Questions et réponses

Engrenages et trains d’engrenages : de quoi s’agit-il ?

Les engrenages transmettent la rotation d’un arbre à un autre. Leurs dents s’emboîtent, donc ils ne peuvent pas glisser.

Un réducteur remplit deux fonctions à la fois. Il change la vitesse de rotation, et il change le couple, la force de rotation sur l’arbre. Plus lent signifie plus fort.

Engrenages et trains d’engrenages : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Transmissions par courroie : sans glissement, les deux poulies ont la même vitesse périphérique v = π·d·n/60, donc n₁·d₁ = n₂·d₂ et le rapport de vitesses vaut d₂/d₁. Le glissement s ralentit un peu la poulie menée : n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La puissance transmise est P = (T₁ − T₂)·v, avec T₁ la tension du brin tendu et T₂ celle du brin mou. Le frottement limite le rapport des tensions : T₁/T₂ = eμθ, où θ est l’angle d’enroulement en radians sur la plus petite poulie ; pour une courroie ouverte, θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) avec l’entraxe C.

Engrenages et trains d’engrenages : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • La plus grande poulie tourne plus lentement : n₂ = n₁·d₁/d₂.
  • Ce sont les vitesses périphériques qui sont égales, et non les vitesses des arbres.
  • Le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η.
Engrenages et trains d’engrenages : que couvrent les exercices ?
  • Facile: rapport de vitesses
  • Moyen: couple et puissance
  • Difficile: train d’engrenages composé

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Calculatrices

Calculatrice de rapport d’engrenagesCalculatrice de longueur de courroie (courroie ouverte et croisée)

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