Cadres et machines : exercices corrigés pas à pas

Exercices gratuits sur Cadres et machines avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : éléments à deux forces et machines simples, forces d’articulation et mécanismes articulés, cadres à plusieurs éléments.

Exercice gratuitFacile
15 kN4 m1,2 m0,8 m0,8 mABCDEK

Le cadre en A représenté repose sur une articulation en A et un appui à rouleau en B, distants de 4 m. Une charge verticale de 15 kN agit sur la jambe AC au point K, à 0,8 m (horizontalement) de A. Trouvez la réaction verticale By à l’appui à rouleau.

P = 15 kNAB = 4 mdistance horizontale de A à K = 0,8 m
kN
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Ce que vous travaillez

  1. Facileéléments à deux forces et machines simples
  2. Moyenforces d’articulation et mécanismes articulés
  3. Difficilecadres à plusieurs éléments

Comment résoudre les exercices de Cadres et machines

  1. Dessinez toute la structure et trouvez les réactions d’appui s’il n’y a pas plus de trois inconnues.
  2. Repérez les éléments à deux forces : chargés seulement en deux articulations, leur force agit selon la droite qui joint ces articulations.
  3. Démontez le cadre et dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées là où les éléments se rejoignent.
  4. Pour chaque élément, prenez les moments autour d’une articulation où agissent des forces inconnues, puis utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0 ; combinez les composantes en une intensité à la fin.

Erreurs fréquentes

  • Traiter comme un élément à deux forces un élément portant une charge entre ses articulations.
  • Donner à une force d’articulation le même sens sur les deux éléments qu’elle relie.
  • Prendre toute la force inclinée comme composante verticale dans une équation de moments.
  • Ne donner qu’une seule composante quand on demande l’intensité d’une force d’articulation.

Formules clés

Équilibre de chaque élément
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Élément à deux forces
force dirigée selon la droite passant par ses deux articulations
Force d’articulation
égales et opposées sur les deux éléments qu’elle relie
Intensité d’une force d’articulation
F = √(Fx² + Fy²)
Levier, pince, levier coudé
Fin·a = Fout·b
Genouillère
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge

Apprendre Cadres et machines depuis zéro

Avant cela : Réactions d’appui des poutres, Treillis : méthode des nœuds

1Ce que sont les cadres et les machines

Dans un treillis, chaque barre est rectiligne, articulée à ses deux extrémités et chargée seulement aux nœuds, donc chaque barre est simplement tendue ou comprimée. Un cadre est différent : au moins un élément supporte des forces en trois points ou plus, ou une charge entre ses articulations. Un tel élément fléchit aussi.

ABCDE8 kN

Dans ce cadre en A, les jambes AC et BC sont des éléments à plusieurs forces : chacune est chargée à l’appui, au tirant et à l’articulation C. Le tirant DE est articulé aux deux extrémités et ne porte rien entre les deux. Un cadre qui se déplace et transforme une force d’entrée en force de sortie, comme une pince, un levier ou un serre-joint, s’appelle une machine.

Auto-évaluation Quel élément du cadre en A est un élément à deux forces ?
  1. La jambe AC, parce qu’elle porte la charge
  2. La jambe BC, parce qu’elle repose sur un appui à rouleau
  3. Le tirant DE
  4. Tous les éléments, parce que chacun a deux articulations à ses extrémités

Réponse: Le tirant DE. DE n’a de forces qu’à ses deux articulations, donc sa force agit selon DE. Chaque jambe reçoit aussi la force du tirant en D ou E en plus de son appui et de l’articulation C, donc elle porte trois forces, pas deux.

2Éléments à deux forces et forces d’articulation

Un élément chargé seulement en deux articulations est un élément à deux forces. Ses deux forces sont égales, opposées et portées par la droite passant par les articulations. Il n’apporte donc qu’une inconnue, l’intensité de cette force, au lieu de deux composantes.

Là où deux éléments se rejoignent en une articulation, l’axe pousse sur un élément avec une force (Cx, Cy) et sur l’autre avec la force opposée (−Cx, −Cy). Dessinez-les ainsi, avec les mêmes symboles, sur les deux diagrammes de corps libre.

Chaque élément séparé donne trois équations : ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0. Prenez les moments autour d’une articulation où agissent des forces inconnues, afin que ses deux composantes disparaissent.

3La méthode pas à pas

  1. Dessinez le cadre entier et trouvez les réactions d’appui, s’il n’y a pas plus de trois inconnues.
  2. Repérez les éléments à deux forces : leurs forces agissent selon la droite qui joint leurs articulations.
  3. Démontez le cadre et dessinez chaque élément à plusieurs forces séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées.
  4. Pour chaque élément, prenez les moments autour d’une articulation, puis utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0. Combinez les composantes en une intensité à la fin : F = √(Fx² + Fy²).

4Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Le cadre en A repose sur une articulation en A et un appui à rouleau en B, distants de 3 m. L’articulation C est à 2,4 m de hauteur et le tirant DE à 0,8 m au-dessus du sol. Une charge de 8 kN agit en C. Trouvez la tension T dans le tirant et la force de l’articulation C sur la jambe BC.

1

Observer le cadre

ABCDE8 kN3 m0,8 m1,6 m

Le tirant DE est un élément à deux forces, donc il tire horizontalement sur les deux jambes.

2

Cadre entier

La charge est au milieu, donc chaque appui en porte la moitié.

Ay = By = 8/2 = 4 kN, Ax = 0
3

Jambe BC : moments autour de C

4 kNTCx​Cy​CEB

B est à 1,5 m à droite de C, et le tirant est à 2,4 − 0,8 = 1,6 m sous C.

4·1,5 = T·1,6 ⇒ T = 3,75 kN
4

Jambe BC : équilibre des forces

Cx = T = 3,75 kN, Cy = −4 kN
C = √(3,75² + 4²) = 5,48 kN
5

Vérifiez la réponse

Sur la jambe AC, la force d’articulation est opposée : (−3,75 ; +4) kN. Avec Ay = 4 kN, le tirant +3,75 kN et la charge −8 kN, les deux sommes de forces sont nulles.

Réponse

T = 3,75 kN (traction) et C = 5,48 kN sur la jambe BC.

5Machines : pinces, leviers et genouillères

Pour une machine, dessinez une seule pièce et prenez les moments autour de son pivot. La force d’articulation disparaît, et les forces d’entrée et de sortie s’équilibrent :

Fin·a = Fout·b

Une pince dont la main est à 100 mm de l’axe et les mâchoires à 25 mm multiplie la force par 100/25 = 4. L’axe supporte alors les deux forces : sur une moitié, elles ont le même sens de part et d’autre de l’axe, donc elles s’additionnent.

Dans une genouillère, deux biellettes se rejoignent sous un faible angle θ. Chaque biellette est un élément à deux forces de force F/(2 sin θ), et la force de serrage vaut F/(2 tan θ). Plus les biellettes sont à plat, plus la force est grande.

Auto-évaluation On serre une pince avec 50 N à 100 mm de l’axe, et les mâchoires sont à 25 mm de l’axe. Quelle est la force de serrage ?
  1. 12,5 N
  2. 200 N
  3. 250 N
  4. 50 N

Réponse: 200 N. Moments autour de l’axe : 50·100 = Q·25, donc Q = 200 N. Inverser le rapport donne 12,5 N, et 250 N est la force sur l’axe, la force de la main plus le serrage.

6Erreurs fréquentes

  • Traiter comme un élément à deux forces un élément portant une charge entre ses articulations.
  • Dessiner une force d’articulation dans le même sens sur les deux éléments qu’elle relie.
  • Utiliser toute la force d’une contrefiche inclinée comme sa composante verticale.
  • Donner une seule composante quand on demande l’intensité d’une force d’articulation.
Auto-évaluation Une contrefiche pousse une poutre avec 10 kN sous 30° par rapport à la poutre. Quelle est la composante perpendiculaire à la poutre ?
  1. 10 kN
  2. 20 kN
  3. 5 kN
  4. 8,66 kN

Réponse: 5 kN. La composante perpendiculaire vaut 10·sin 30° = 5 kN. 8,66 kN est la composante selon la poutre (cos 30°), et 10 kN est la force entière.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : éléments à deux forces et machines simples. Vous trouvez le serrage d’une pince ou la force d’articulation, la force dans la contrefiche d’une console murale, la force du tirant ou une réaction d’appui d’un cadre en A, ou la force de sortie d’un levier coudé.
  • Moyen : forces d’articulation et mécanismes articulés. Vous trouvez la réaction d’articulation d’une console ou d’un levier coudé, la force du tirant pour une charge excentrée, la force d’un axe sur une jambe, la force dans un élément d’un cadre à trois articulations, ou la force de serrage d’une genouillère.
  • Difficile : cadres à plusieurs éléments. Vous ajoutez une charge répartie à une console, trouvez la force du câble ou la réaction d’articulation d’une flèche avec son propre poids, la force d’articulation pour une charge excentrée, une réaction d’appui sous charge horizontale, ou la force dont a besoin une presse à genouillère.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
12 kN0,5 m1 m1,2 mABCD

Une poutre horizontale AB est articulée à un mur en A et soutenue par la contrefiche CD, articulée au mur en C, 1,2 m sous A. Une charge de 12 kN est suspendue à l’extrémité libre B. Négligez les poids. Trouvez la force FCD dans la contrefiche.

P = 12 kNAD = 0,5 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m

Calculer FCD (kN)

Afficher les indices
  1. CD n’est chargée qu’à ses deux articulations, c’est donc un élément à deux forces : sa force agit selon CD.
  2. Prenez les moments autour de A pour la poutre : seules la contrefiche et la charge ont un moment.
  3. sin α = 1,2/√(0,5² + 1,2²) = 0,9231.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.

Élément à deux forces

La contrefiche a des articulations aux deux extrémités et aucune charge entre elles.

tan α = 1,2/0,5, sin α = 0,9231

Moments autour de A pour la poutre

FCD·sin α·0,5 = 12·1,5
FCD = 18/(0,9231·0,5) = 39 kN

Réponse

FCD = 39 kN

La contrefiche pousse la poutre vers le haut : elle est en compression.

Exemple 2Moyen
8 kN0,75 m1,25 m0,75 mABCD

Une poutre horizontale AB est articulée à un mur en A et soutenue par la contrefiche CD, articulée au mur en C, 0,75 m sous A. Une charge de 8 kN est suspendue en B. Négligez les poids. Trouvez l’intensité de la force d’articulation A sur la poutre en A.

P = 8 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 0,75 m

Calculer A (kN)

Afficher les indices
  1. Trouvez d’abord la force dans la contrefiche : moments autour de A pour la poutre.
  2. FCD = 30,17 kN, sin α = 0,7071, cos α = 0,7071.
  3. Alors ΣFx = 0 et ΣFy = 0 pour la poutre donnent les composantes en A.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.

Force dans la contrefiche

FCD = 8·2/(0,7071·0,75) = 30,17 kN

Composantes en A

Ax = FCD·cos α = 21,33 kN (vers le mur)
Ay = 8 − FCD·sin α = −13,33 kN

Norme

A = √(21,33² + −13,33²) = 25,16 kN

Réponse

A = 25,16 kN

Un Ay négatif signifie que le mur tire la poutre vers le bas en A.

Exemple 3Difficile
8 kN1 kN2 m1 mABC

Une flèche horizontale uniforme AB de poids 1 kN est articulée à un mur en A et retenue par un câble allant de son extrémité B au point C du mur, 1 m au-dessus de A. Une charge de 8 kN est suspendue en B. Trouvez la tension T dans le câble.

W = 8 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 1 m

Calculer T (kN)

Afficher les indices
  1. Le câble tire selon BC. Prenez les moments autour de A pour la flèche.
  2. La composante verticale du câble T·sin β a pour bras AB ; sa composante horizontale passe par A.
  3. sin β = 1/√(2² + 1²) = 0,4472.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.

Angle du câble

BC = √(2² + 1²) = 2,236 m, sin β = 0,4472

Moments par rapport à A

T·0,4472·2 = 8·2 + 1·1
T = 19,01 kN

Réponse

T = 19,01 kN

Questions et réponses

Cadres et machines : de quoi s’agit-il ?

Dans un treillis, chaque barre est rectiligne, articulée à ses deux extrémités et chargée seulement aux nœuds, donc chaque barre est simplement tendue ou comprimée. Un cadre est différent : au moins un élément supporte des forces en trois points ou plus, ou une charge entre ses articulations. Un tel élément fléchit aussi.

Dans ce cadre en A, les jambes AC et BC sont des éléments à plusieurs forces : chacune est chargée à l’appui, au tirant et à l’articulation C. Le tirant DE est articulé aux deux extrémités et ne porte rien entre les deux. Un cadre qui se déplace et transforme une force d’entrée en force de sortie, comme une pince, un levier ou un serre-joint, s’appelle une machine.

Cadres et machines : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Dessinez toute la structure et trouvez les réactions d’appui s’il n’y a pas plus de trois inconnues.
  2. Repérez les éléments à deux forces : chargés seulement en deux articulations, leur force agit selon la droite qui joint ces articulations.
  3. Démontez le cadre et dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées là où les éléments se rejoignent.
  4. Pour chaque élément, prenez les moments autour d’une articulation où agissent des forces inconnues, puis utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0 ; combinez les composantes en une intensité à la fin.
Cadres et machines : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Traiter comme un élément à deux forces un élément portant une charge entre ses articulations.
  • Donner à une force d’articulation le même sens sur les deux éléments qu’elle relie.
  • Prendre toute la force inclinée comme composante verticale dans une équation de moments.
  • Ne donner qu’une seule composante quand on demande l’intensité d’une force d’articulation.
Cadres et machines : que couvrent les exercices ?
  • Facile: éléments à deux forces et machines simples
  • Moyen: forces d’articulation et mécanismes articulés
  • Difficile: cadres à plusieurs éléments

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

À voir d’abord

Réactions d’appui des poutresTreillis : méthode des nœuds

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