Ressorts et pendules : exercices corrigés pas à pas

Exercices gratuits sur Ressorts et pendules avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : masse sur un ressort, pendule, vitesse, accélération et énergie.

Exercice gratuitFacile
4,8 kgk = ?

Une masse de 4,8 kg accrochée à un ressort oscille avec une période de 2,5 s. Trouvez la raideur du ressort k.

m = 4,8 kgT = 2,5 s
N/m
Exercice suivant →
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Ce que vous travaillez

  1. Facilemasse sur un ressort
  2. Moyenpendule
  3. Difficilevitesse, accélération et énergie

Formules clés

Masse sur un ressort
T = 2π·√(m/k)
Pendule
T = 2π·√(L/g)
Pulsation
ω = √(k/m) = 2π/T
Vitesse et accélération maximales
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Énergie
E = ½·k·A²

Apprendre Ressorts et pendules depuis zéro

Avant cela : Lois de Newton

1Ce qu’est une oscillation

Tirez une masse au bout d’un ressort d’un côté et lâchez-la. Elle repasse par le milieu, va de l’autre côté, puis revient. Un enfant sur une balançoire et une corde de guitare font la même chose.

Ce mouvement répété est une oscillation. Le point central, où la masse resterait au repos, est la position d’équilibre.

m0−A+Axk
  • L’amplitude A est la plus grande distance à la position d’équilibre, en m.
  • La période T est la durée d’une oscillation complète, aller et retour, en s.
  • La fréquence f est le nombre d’oscillations par seconde, en hertz (Hz).
f = 1 / T
Auto-évaluation Une masse au bout d’un ressort fait 20 oscillations complètes en 10 s. Quelle est la période ?
  1. 0,5 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 200 s

Réponse: 0,5 s. T = durée / nombre d’oscillations = 10/20 = 0,5 s. 2 est la fréquence en Hz (20/10), le nombre d’oscillations par seconde.

2Mouvement harmonique simple

Un ressort tire en arrière avec une force proportionnelle à l’allongement : F = −k·x. La raideur k est en N/m. Le signe moins signifie que la force est toujours dirigée vers la position d’équilibre.

Une force de rappel de ce type donne un mouvement harmonique simple (MHS). La position suit une courbe en cosinus au cours du temps :

txA−AT
x = A · cos(ω·t)

La pulsation ω (oméga), en rad/s, fixe la rapidité avec laquelle le mouvement se répète. Une période correspond à 2π rad.

ω = 2π / T = 2π · f

L’amplitude ne change pas la période. Une plus grande oscillation parcourt plus de distance mais va aussi plus vite.

3Formules du ressort et du pendule

Pour une masse au bout d’un ressort, une masse plus lourde oscille plus lentement et un ressort plus raide plus vite :

ω = √(k / m) T = 2π · √(m / k)

Pour un pendule simple de longueur L, avec de petites oscillations, la masse n’a aucune importance :

T = 2π · √(L / g)

Si un ressort est suspendu verticalement, le poids l’allonge jusqu’à une nouvelle position d’équilibre : k·x = m·g. Utilisez cela pour trouver k à partir d’un allongement mesuré.

La vitesse est la plus grande à l’équilibre et nulle aux extrémités. L’accélération est la plus grande aux extrémités, là où la force du ressort est la plus grande :

vmax = A · ω amax = A · ω²

L’énergie totale reste la même : E = ½·k·A². À une position x, elle se partage en ½·k·x² + ½·m·v².

Auto-évaluation Vous remplacez la masse au bout d’un ressort par une masse deux fois plus lourde. Que devient la période ?
  1. Elle double
  2. Elle est divisée par 1,41
  3. Elle est multipliée par 4
  4. Elle est multipliée par √2 ≈ 1,41

Réponse: Elle est multipliée par √2 ≈ 1,41. T = 2π·√(m/k), donc T croît comme la racine carrée de m. Doubler m multiplie T par √2. Dire qu’elle double oublie la racine carrée.

4La méthode pas à pas

  1. Convertissez tout en unités SI : grammes en kg, centimètres en m.
  2. Décidez de quel système il s’agit : une masse au bout d’un ressort (utilisez k et m) ou un pendule (utilisez L et g).
  3. Si la période ou le nombre d’oscillations est donné, trouvez d’abord T : T = durée / nombre.
  4. Trouvez ω à partir du système : ω = √(k/m) ou ω = 2π/T.
  5. Utilisez la formule correspondant à ce qui est demandé : T, f, vmax = A·ω, amax = A·ω² ou l’énergie ½·k·A².
  6. Vérifiez que la réponse est raisonnable : une période d’une fraction de seconde pour un ressort raide, quelques secondes pour un long pendule.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Une masse de 0,5 kg au bout d’un ressort de k = 200 N/m est écartée de 5 cm de l’équilibre puis lâchée. Trouvez la période T, la fréquence f, la vitesse maximale vmax et l’accélération maximale amax.

1

Unités

A = 5 cm = 0,05 m m = 0,5 kg k = 200 N/m
2

Pulsation

ω = √(k / m) = √(200 / 0,5) = √400 = 20 rad/s
3

Période et fréquence

T = 2π / ω = 2π / 20 = 0,314 s
f = 1 / T = 3,18 Hz
4

Vitesse maximale

La masse est la plus rapide quand elle passe par l’équilibre.

vmax = A · ω = 0,05 · 20 = 1 m/s
5

Accélération maximale

L’accélération est la plus grande aux extrémités, là où la masse fait demi-tour.

amax = A · ω² = 0,05 · 400 = 20 m/s²
6

Vérifiez la réponse

Vérification de l’énergie : ½·k·A² = ½ · 200 · 0,05² = 0,25 J, et ½·m·vmax² = ½ · 0,5 · 1² = 0,25 J. Toute l’énergie du ressort devient de l’énergie cinétique à l’équilibre.

Réponse

T ≈ 0,314 s, f ≈ 3,18 Hz, vmax = 1 m/s et amax = 20 m/s².

6Erreurs fréquentes

  • Utiliser l’amplitude en cm au lieu de m.
  • Inverser la fraction : T = 2π·√(m/k), pas √(k/m). Pour un pendule, c’est √(L/g).
  • Oublier le 2π, ou confondre ω (rad/s) et f (Hz).
  • Penser que la masse change la période d’un pendule, ou que l’amplitude change une période.
  • Confondre vmax = A·ω et amax = A·ω².
Auto-évaluation Une masse oscille avec une amplitude de 10 cm et ω = 10 rad/s. Quelle est son accélération maximale ?
  1. 1 m/s²
  2. 10 m/s²
  3. 100 m/s²
  4. 1000 m/s²

Réponse: 10 m/s². amax = A·ω² = 0,1 · 100 = 10 m/s². Utiliser A = 10 (cm) donne 1000. 1 m/s est A·ω, la vitesse maximale, pas l’accélération.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : une masse au bout d’un ressort. Trouvez T, f ou k, parfois à partir d’un comptage d’oscillations ou de l’allongement d’un ressort suspendu.
  • Moyen : le pendule. Trouvez sa période, la longueur pour une période donnée, ou g sur une autre planète. Certaines questions demandent la vitesse à une position ou à un instant donné.
  • Difficile : vitesse, accélération et énergie : vmax, amax, l’énergie cinétique à une position, ou l’amplitude après qu’une balle frappe un bloc fixé à un ressort.

Une vérification rapide pour tout pendule : un pendule de 1 m sur Terre a une période d’environ 2 s.

Auto-évaluation Un pendule mesure 2,45 m. Avec g = 9,81 m/s², quelle est sa période pour de petites oscillations ?
  1. 0,50 s
  2. 1,57 s
  3. 12,6 s
  4. 3,14 s

Réponse: 3,14 s. T = 2π·√(2,45/9,81) = 2π · 0,5 = 3,14 s. √(g/L) à l’envers donne 12,6 s, oublier la racine donne 1,57 s, et oublier 2π donne 0,50 s.

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Exemples corrigés

Exemple 1Facile
3,2 kgk = 210 N/m

Une masse de 3,2 kg fixée à un ressort de raideur 210 N/m oscille sur une surface sans frottement. Trouvez la période T.

m = 3,2 kgk = 210 N/m

Calculer T (s)

Afficher les indices
  1. La période d’un système masse-ressort ne dépend pas de l’amplitude.
  2. T = 2π·√(m/k).
  3. √(m/k) = 0,1234 s.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².

Période

T = 2π·√(3,2/210) = 0,7756 s

Réponse

T = 0,7756 s
Exemple 2Moyen
1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Une masse de 1,1 kg accrochée à un ressort de raideur k = 120 N/m oscille sur une surface sans frottement avec une amplitude de 7 cm. Trouvez sa vitesse v quand elle est à 6 cm de la position d’équilibre.

m = 1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Calculer v (m/s)

Afficher les indices
  1. L’énergie se conserve : ½·k·A² = ½·k·x² + ½·m·v².
  2. Donc v = ω·√(A² − x²) avec ω = √(k/m).
  3. ω = 10,44 rad/s.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pulsation

ω = √(120/1,1) = 10,44 rad/s

Vitesse en x

v = ω·√(A² − x²) = 10,44·√(0,07² − 0,06²) = 0,3766 m/s

Réponse

v = 0,3766 m/s
Exemple 3Difficile
1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Une masse de 1,7 kg fixée à un ressort de raideur k = 380 N/m est écartée de 11 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez son accélération maximale amax.

m = 1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Calculer amax (m/s²)

Afficher les indices
  1. ω = √(k/m).
  2. L’accélération est maximale aux extrémités : amax = A·ω².
  3. ω = 14,95 rad/s, A = 0,11 m.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².

Pulsation

ω = √(380/1,7) = 14,95 rad/s

Accélération maximale

amax = A·ω² = 0,11·14,95² = 24,59 m/s²

Réponse

amax = 24,59 m/s²

Questions et réponses

Ressorts et pendules : de quoi s’agit-il ?

Tirez une masse au bout d’un ressort d’un côté et lâchez-la. Elle repasse par le milieu, va de l’autre côté, puis revient. Un enfant sur une balançoire et une corde de guitare font la même chose.

Ce mouvement répété est une oscillation. Le point central, où la masse resterait au repos, est la position d’équilibre.

Ressorts et pendules : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².

Ressorts et pendules : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • N’oubliez pas 2π : T = 2π·√(m/k) et f = 1/T.
  • Vérifiez la fraction sous la racine : T = 2π·√(m/k), la masse au numérateur.
  • C’est la vitesse maximale, à la position d’équilibre. En x, la vitesse est plus faible : v = ω·√(A² − x²).
Ressorts et pendules : que couvrent les exercices ?
  • Facile: masse sur un ressort
  • Moyen: pendule
  • Difficile: vitesse, accélération et énergie

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

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