Champs magnétiques et induction : exercices corrigés pas à pas
Exercices gratuits sur Champs magnétiques et induction avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : champs des courants et forces magnétiques, particules chargées, Faraday et Lenz, alternateurs, inductance et faisceaux de particules.
Exercice gratuitFacile
Une bobine plate circulaire de 100 spires et de rayon 2 cm est parcourue par un courant de 0,5 A. Trouvez le champ magnétique B en son centre.
Difficilealternateurs, inductance et faisceaux de particules
Comment résoudre les exercices de Champs magnétiques et induction
Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.
Erreurs fréquentes
Laisser des longueurs en cm ou des aires en cm².
Utiliser la formule du fil pour une boucle ou un solénoïde.
Utiliser l’angle avec le plan dans Φ = BA·cos θ, qui demande l’angle avec la normale.
Oublier d’inverser le sens de la force pour une charge négative.
Confondre valeur crête et valeur efficace d’un alternateur.
Formules clés
Long fil rectiligne
B = μ0I/(2πr)
Centre d’une bobine plate
B = μ0NI/(2R)
Long solénoïde
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Force sur un fil
F = BIL·sin θ
Force sur une charge
F = |q|vB·sin θ
Mouvement circulaire
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fils parallèles
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flux
Φ = BA·cos θ
Loi de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Tige en mouvement
ε = BLv
Alternateur
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Inductance
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Inductance mutuelle
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Sélecteur de vitesse et spectromètre
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Apprendre Champs magnétiques et induction depuis zéro
Tout courant électrique est entouré d’un champ magnétique B, mesuré en tesla (T). Le champ terrestre vaut environ 50 µT ; un aimant de réfrigérateur quelques mT.
Autour d’un long fil rectiligne, les lignes de champ sont des cercles. Pointez le pouce de la main droite dans le sens du courant : vos doigts s’enroulent dans le sens de B (la règle de la main droite). Sur les schémas, ⊗ désigne un champ entrant dans la page et ⊙ sortant de la page.
fil : B = μ₀I/(2πr) centre d’une spire : B = μ₀NI/(2R) solénoïde : B = μ₀(N/L)·I
μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Utilisez toujours les mètres : 5 cm font 0,05 m. À l’intérieur d’un long solénoïde, le champ est uniforme et ne dépend pas du rayon.
Auto-évaluation La distance à un long fil rectiligne double. Que devient B ?
Elle double
Elle est divisée par deux
Elle reste identique
Il tombe au quart
Réponse: Elle est divisée par deux. B = μ₀I/(2πr) varie en 1/r, donc une distance double donne un champ moitié. La loi en 1/r² concerne les charges ponctuelles, pas les fils.
2Forces magnétiques
Un champ exerce une force sur les charges en mouvement. Sur un fil rectiligne de longueur L parcouru par I, et sur une seule charge q de vitesse v :
F = BIL·sin θ F = |q|vB·sin θ
θ est l’angle entre le courant (ou la vitesse) et le champ : un fil parallèle à B ne subit aucune force. La force est perpendiculaire aux deux. Doigts de la main droite le long de v, enroulez-les vers B : le pouce donne F pour une charge positive. Pour un électron, inversez le sens.
Comme la force est toujours perpendiculaire à la vitesse, une charge qui traverse un champ uniforme décrit un cercle. En posant |q|vB = mv²/r on obtient r = mv/(|q|B). Le temps d’un tour, T = 2πm/(|q|B), ne dépend pas de la vitesse.
Deux fils parallèles s’attirent quand leurs courants circulent dans le même sens et se repoussent quand ils circulent en sens opposés, avec F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Auto-évaluation Un proton et un électron se déplacent à la même vitesse à travers le même champ. Lequel décrit le plus grand cercle ?
Aucun : ils vont en ligne droite
Le proton
Les deux cercles ont la même taille
L’électron
Réponse: Le proton. r = mv/(|q|B). Les deux ont la même valeur de charge, mais le proton est environ 1836 fois plus lourd, donc son cercle est 1836 fois plus grand. Ils tournent aussi dans des sens opposés.
3Flux et loi de Faraday
Le flux magnétique à travers une boucle mesure la quantité de champ qui la traverse : Φ = BA·cos θ, avec θ entre B et la normale à la boucle. Unité : weber (Wb = T·m²).
Quand le flux à travers une bobine change, une f.é.m. est induite (loi de Faraday). Le courant induit circule de façon que son propre champ s’oppose à la variation (loi de Lenz) :
ε = −N·ΔΦ/Δt
Le flux peut varier parce que B change, parce que l’aire change, ou parce que la bobine tourne. Retourner une bobine dans un champ inverse le flux, donc ΔΦ = 2BA.
Une tige de longueur L qui se déplace à la vitesse v à travers un champ balaie une aire, donc ε = BLv. Avec une résistance R le courant vaut I = ε/R, et le champ s’oppose à ce courant avec F = BIL : il faut continuer à tirer pour maintenir la tige en mouvement.
Auto-évaluation Le champ entrant dans la page à travers une boucle augmente. Dans quel sens circule le courant induit, vu de face ?
Cela dépend de la taille de la boucle
Il n’y a pas de courant
Sens antihoraire
Sens horaire
Réponse: Sens antihoraire. Le courant induit s’oppose à l’augmentation du flux entrant dans la page, donc son propre champ à l’intérieur de la boucle sort de la page. Selon la règle de la main droite, il faut un courant dans le sens antihoraire.
4Alternateurs et inductance
Une bobine de N spires d’aire A tournant à la vitesse angulaire ω dans un champ B donne une f.é.m. sinusoïdale de valeur crête E₀ = NBAω. La valeur efficace est E₀/√2, et ω = 2π·n/60 pour n en tr/min.
Un courant variable dans une bobine modifie son propre flux, ce qui induit une f.é.m. qui s’oppose à la variation : c’est l’auto-inductance L, en henry (H).
ε = L·ΔI/Δt solénoïde long : L = μ₀N²A/l énergie : W = ½LI²
Deux bobines qui partagent du flux ont une inductance mutuelle M : un courant variable dans l’une induit ε₂ = M·di₁/dt dans l’autre, avec M = k√(L₁L₂) et 0 ≤ k ≤ 1. Les transformateurs utilisent ce principe.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Une tige métallique de 40 cm de long glisse à 5 m/s sur des rails dans un champ de 0,5 T. Les rails sont reliés par une résistance de 2 Ω. Trouvez le courant et la force nécessaire pour maintenir la tige à vitesse constante.
1
F.é.m. induite
ε = BLv = 0,5 · 0,40 · 5 = 1,0 V
2
Courant
I = ε/R = 1,0/2 = 0,5 A
3
Force de freinage
Le courant dans la tige est placé dans le champ, donc la tige subit F = BIL, opposée à son mouvement (Lenz).
F = 0,5 · 0,5 · 0,40 = 0,10 N
4
Vérifier avec l’énergie
La puissance de traction F·v = 0,10 · 5 = 0,5 W est égale à la chaleur dissipée dans la résistance, I²R = 0,25 · 2 = 0,5 W. L’énergie est conservée.
Réponse
I = 0,5 A et F = 0,10 N.
6Erreurs fréquentes
Laisser des distances en cm ou des aires en cm². 1 cm² = 10⁻⁴ m².
Confondre les formules : μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) au centre d’une boucle, μ₀nI pour un solénoïde.
Utiliser l’angle avec le plan dans Φ = BA·cos θ au lieu de l’angle avec la normale.
Utiliser le champ final au lieu de la variation du champ dans la loi de Faraday.
Oublier d’inverser le sens de la force pour une charge négative.
Confondre valeur crête et valeur efficace pour un alternateur.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : B d’un fil, d’une boucle ou d’un solénoïde, la force sur un fil ou sur une charge en mouvement, et le flux à travers une boucle.
Moyen : le rayon et la période d’une charge dans un champ, la loi de Faraday pour une bobine, une tige sur des rails, des fils parallèles, et le sens d’une force ou d’un courant induit.
Difficile : alternateurs, auto-inductance et énergie stockée, inductance mutuelle, spectromètres de masse et sélecteurs de vitesse.
Pour les sens, esquissez les symboles du champ et utilisez à chaque fois la main droite ; pour les valeurs, écrivez d’abord la formule et convertissez chaque grandeur en unités SI.
Un long fil rectiligne est parcouru par 8 A. À quelle distance r du fil le champ magnétique vaut-il 32 µT ?
I = 8 AB = 32 µTμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Calculer r(cm)
Afficher les indices
Isolez r dans B = μ₀I/(2πr).
r = μ₀I/(2πB).
Convertissez le résultat de mètres en centimètres.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Champ magnétique des courants : autour d’un long fil rectiligne, les lignes de champ sont des cercles (règle de la main droite) avec B = μ₀I/(2πr). Au centre d’une bobine plate circulaire de N spires, B = μ₀NI/(2R). À l’intérieur d’un long solénoïde, le champ est uniforme, B = μ₀nI avec n = N/L spires par mètre, quel que soit le rayon. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Travaillez en unités SI (mètres et ampères), et additionnez vectoriellement les champs de plusieurs sources.
Distance à partir du champ
r = μ₀I/(2πB) = 4π × 10⁻⁷·8/(2π·32 × 10⁻⁶) = 0,05 m = 5 cm
Réponse
r = 5 cm
Exemple 2Moyen
Une bobine de 50 spires a une aire de 80 cm². Un champ uniforme perpendiculaire à la bobine augmente régulièrement de 0,2 T à 1 T en 100 ms. Trouve la f.é.m. induite moyenne ε.
N = 50A = 80 cm²B: 0,2 T → 1 TΔt = 100 ms
Calculer ε(V)
Afficher les indices
Loi de Faraday : ε = N·ΔΦ/Δt.
ΔΦ = ΔB·A.
A = 0,008 m² et Δt = 0,1 s.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Induction électromagnétique : le flux à travers une boucle est Φ = BA·cos θ, avec θ entre B et la normale à la boucle. Loi de Faraday : une variation de flux induit une f.é.m. = −N·dΦ/dt dans une bobine de N spires, et la loi de Lenz dit que le courant induit circule de façon que son propre champ s’oppose à la variation. Une tige qui se déplace à travers un champ donne f.é.m. = BLv. Une bobine tournant à ω donne e = NBAω·sin ωt, de valeur crête NBAω. Auto-inductance : f.é.m. = −L·di/dt, avec L = μ₀N²A/l pour un long solénoïde, et l’énergie stockée est W = ½LI². Deux bobines couplées : f.é.m.₂ = −M·di₁/dt avec M = k√(L₁L₂).
Variation de flux par spire
ΔΦ = (1 − 0,2)·0,008 = 0,0064 Wb
F.é.m. moyenne
ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0064/0,1 = 3,2 V
Réponse
ε = 3,2 V
Exemple 3Difficile
Deux bobines d’auto-inductances 50 mH et 50 mH ont un coefficient de couplage de 0,3. Le courant dans la première bobine varie de 1000 A/s. Trouvez la f.é.m. ε induite dans la seconde bobine.
L1 = 50 mHL2 = 50 mHk = 0,3di/dt = 1000 A/s
Calculer ε(V)
Afficher les indices
M = k√(L₁L₂).
ε₂ = M·di₁/dt.
Convertissez M en henry.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Induction électromagnétique : le flux à travers une boucle est Φ = BA·cos θ, avec θ entre B et la normale à la boucle. Loi de Faraday : une variation de flux induit une f.é.m. = −N·dΦ/dt dans une bobine de N spires, et la loi de Lenz dit que le courant induit circule de façon que son propre champ s’oppose à la variation. Une tige qui se déplace à travers un champ donne f.é.m. = BLv. Une bobine tournant à ω donne e = NBAω·sin ωt, de valeur crête NBAω. Auto-inductance : f.é.m. = −L·di/dt, avec L = μ₀N²A/l pour un long solénoïde, et l’énergie stockée est W = ½LI². Deux bobines couplées : f.é.m.₂ = −M·di₁/dt avec M = k√(L₁L₂).
Inductance mutuelle
M = 0,3·√(50·50) = 15 mH
F.é.m. induite
ε = M·di/dt = 0,015·1000 = 15 V
Réponse
ε = 15 V
Questions et réponses
Champs magnétiques et induction : de quoi s’agit-il ?
Tout courant électrique est entouré d’un champ magnétique B, mesuré en tesla (T). Le champ terrestre vaut environ 50 µT ; un aimant de réfrigérateur quelques mT.
Autour d’un long fil rectiligne, les lignes de champ sont des cercles. Pointez le pouce de la main droite dans le sens du courant : vos doigts s’enroulent dans le sens de B (la règle de la main droite). Sur les schémas, ⊗ désigne un champ entrant dans la page et ⊙ sortant de la page.
Champs magnétiques et induction : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.
Champs magnétiques et induction : quelles sont les erreurs fréquentes ?
Laisser des longueurs en cm ou des aires en cm².
Utiliser la formule du fil pour une boucle ou un solénoïde.
Utiliser l’angle avec le plan dans Φ = BA·cos θ, qui demande l’angle avec la normale.
Oublier d’inverser le sens de la force pour une charge négative.
Confondre valeur crête et valeur efficace d’un alternateur.
Champs magnétiques et induction : que couvrent les exercices ?
Facile: champs des courants et forces magnétiques
Moyen: particules chargées, Faraday et Lenz
Difficile: alternateurs, inductance et faisceaux de particules
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.