Mouvement circulaire : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : mouvement circulaire uniforme · accélération centripète

Exercices gratuits sur Mouvement circulaire avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : force centripète, frottement dans un virage, cercle vertical.

Exercice gratuitFacile
r = 100 m29 m/sF = ?

Une voiture de 1600 kg prend un virage plat de 100 m de rayon à la vitesse constante de 29 m/s. Trouvez la force dirigée vers le centre (centripète) Fc nécessaire.

m = 1600 kgv = 29 m/sr = 100 m
N
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Ce que vous travaillez

  1. Facileforce centripète
  2. Moyenfrottement dans un virage
  3. Difficilecercle vertical

Formules clés

Accélération centripète
a = v²/r = ω²·r
Force centripète
F = m·v²/r
Vitesse angulaire
ω = v/r = 2π/T
Virage plat, frottement
vmax = √(μ·g·r)

Apprendre Mouvement circulaire depuis zéro

Avant cela : Lois de Newton

1Ce qu’est le mouvement circulaire

Une voiture dans un virage, une pierre au bout d’une ficelle et un satellite autour de la Terre se déplacent tous sur un cercle. Même à vitesse constante, leur direction change sans cesse.

Un changement de direction est un changement de vitesse (vecteur), donc le corps accélère. Cette accélération est dirigée vers le centre du cercle. On l’appelle l’accélération centripète ac.

rvac​v ⊥ rac​ = v²/r

La vitesse est toujours selon la tangente, à angle droit du rayon. Si la force vers l’intérieur cessait soudain, le corps partirait en ligne droite le long de la tangente, et non vers l’extérieur.

Auto-évaluation Une voiture fait le tour d’un rond-point à vitesse constante. Dans quelle direction accélère-t-elle ?
  1. Elle n’accélère pas
  2. Vers le centre du cercle
  3. Vers l’avant, selon sa vitesse
  4. Vers l’extérieur, à l’écart du centre

Réponse: Vers le centre du cercle. La vitesse (norme) est constante mais la direction change, donc il y a une accélération. Elle est dirigée vers le centre. La sensation « vers l’extérieur » est votre corps qui essaie de continuer tout droit.

2Accélération et force centripètes

L’accélération centripète dépend de la vitesse v (m/s) et du rayon r (m) :

ac = v² / r

Une vitesse deux fois plus grande donne une accélération quatre fois plus grande. Une courbe plus serrée (r plus petit) donne une plus grande accélération.

D’après la deuxième loi de Newton, quelque chose doit fournir une force vers l’intérieur de cette valeur :

Fc = m · v² / r

Fc n’est pas une nouvelle force. C’est la force résultante vers l’intérieur produite par des forces réelles : le frottement dans un virage plat, la tension d’une ficelle, la gravité pour un satellite, ou la force normale sur une route relevée.

Les objets en rotation sont souvent décrits par la vitesse angulaire ω en rad/s. Un tour fait 2π rad, donc 60 rpm font 2π rad/s.

ω = v / r = 2π / T ac = ω² · r
Auto-évaluation Un cycliste roule à 10 m/s dans un virage de rayon 50 m. Quelle est l’accélération centripète ?
  1. 0,2 m/s²
  2. 2 m/s²
  3. 5 m/s²
  4. 5000 m/s²

Réponse: 2 m/s². ac = v²/r = 100/50 = 2 m/s². Oublier d’élever la vitesse au carré donne 10/50 = 0,2 m/s².

3La méthode pas à pas

  1. Convertissez les vitesses en m/s, les rayons en m et les rpm en rad/s.
  2. Dessinez le corps au point considéré et marquez la direction du centre.
  3. Dessinez les forces réelles : poids, force normale, frottement, tension.
  4. Prenez « vers le centre » comme positif et additionnez les composantes des forces dans cette direction.
  5. Égalisez cette force résultante vers l’intérieur à m·v²/r et résolvez.

Dans un virage plat, le frottement seul fournit la force vers l’intérieur. La vitesse maximale avant le dérapage découle de μ·m·g = m·v²/r. La masse se simplifie :

vmax = √(μ · g · r)

4Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Une voiture prend un virage plat de rayon 40 m. Le coefficient de frottement statique entre les pneus et la route est de 0,5. Utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse maximale vmax à laquelle la voiture peut prendre le virage sans déraper.

1

Quelle force est dirigée vers l’intérieur ?

Sur une route plate, le poids et la force normale sont verticaux. Seul le frottement agit latéralement, vers le centre du virage.

2

La plus grande force de frottement

Sur une route horizontale N = m·g, donc le frottement peut valoir au plus :

Ff,max = μ · m · g
3

Égalisez-la à la force centripète

μ · m · g = m · v² / r

La masse m est des deux côtés et se simplifie, donc la réponse est la même pour une petite voiture et pour un camion.

4

Résolvez pour la vitesse

v² = μ · g · r = 0,5 · 9,81 · 40 = 196,2 m²/s²
vmax = √196,2 ≈ 14,0 m/s
5

Vérifiez la réponse

14,0 m/s × 3,6 ≈ 50 km/h. C’est une vitesse maximale raisonnable pour un virage serré de 40 m. Une route glissante (μ plus petit) donnerait une vitesse plus faible.

Réponse

vmax ≈ 14,0 m/s, soit environ 50 km/h.

5Cercles verticaux

Dans un cercle vertical, le poids est parfois dirigé vers le centre et parfois à l’opposé. Examinez séparément le haut et le bas.

Tm·gTm·gT + m·g = m·v²/rT − m·g = m·v²/r
  • Au sommet, la tension (ou la force normale) et le poids sont tous deux dirigés vers le bas, vers le centre.
  • En bas, la tension est dirigée vers le haut, vers le centre, mais le poids est dirigé à l’opposé. La ficelle doit retenir le poids et fournir la force centripète.

Au sommet, la ficelle reste juste tendue quand T = 0. Alors le poids seul fournit la force vers l’intérieur : m·g = m·v²/r, donc vmin = √(g·r).

Si vous connaissez la vitesse en un point et la cherchez en un autre, utilisez l’énergie : monter de 2r coûte 2·g·r de v²/2 par kg, donc vtop² = vbottom² − 4·g·r.

6Erreurs fréquentes

  • Dessiner la force centripète comme une force supplémentaire à côté du frottement ou de la tension. C’est la somme des forces réelles.
  • Oublier d’élever la vitesse au carré dans v²/r.
  • Utiliser directement des km/h ou des rpm. Convertissez d’abord en m/s ou en rad/s.
  • Se tromper de signe pour le poids dans un cercle vertical : il aide au sommet et s’oppose à la ficelle en bas.
  • Penser qu’il y a une force vers l’extérieur sur le corps. Dans le référentiel terrestre, il n’y en a pas.
Auto-évaluation Une balle de 0,5 kg au bout d’une ficelle de 1 m se déplace à 4 m/s au point le plus bas d’un cercle vertical. Avec g = 9,81 m/s², quelle est la tension à cet endroit ?
  1. 12,9 N
  2. 3,1 N
  3. 4,9 N
  4. 8 N

Réponse: 12,9 N. En bas, T − m·g = m·v²/r, donc T = 0,5 · 9,81 + 0,5 · 16/1 = 4,9 + 8 = 12,9 N. 8 N oublie le poids. 3,1 N retranche le poids au lieu de l’ajouter.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : force centripète. Trouvez ac ou Fc pour une voiture dans un virage, une pierre au bout d’une ficelle ou un point d’un disque en rotation.
  • Moyen : frottement dans un virage et cas voisins : la vitesse maximale dans un virage plat, un virage relevé, une bosse sur la route, un pendule conique ou un rotor de fête foraine.
  • Difficile : le cercle vertical. Tension au sommet ou en bas, vitesse minimale au sommet, ou looping avec conservation de l’énergie.

Dans tous les cas, demandez-vous d’abord : quelle force réelle, ou quelle combinaison, est dirigée vers le centre ?

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Exemples corrigés

Exemple 1Facile
r = 110 m14 m/sF = ?

Une voiture de 1700 kg prend un virage plat de 110 m de rayon à la vitesse constante de 14 m/s. Trouvez la force dirigée vers le centre (centripète) Fc nécessaire.

m = 1700 kgv = 14 m/sr = 110 m

Calculer Fc (N)

Afficher les indices
  1. Tourner à vitesse constante, c’est quand même accélérer, vers le centre.
  2. a = v²/r et F = m·a.
  3. v² = 196 m²/s².
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.

Accélération centripète

ac = v²/r = 14²/110 = 1,782 m/s²

Force centripète

Fc = m·a = 1700·1,782 = 3029 N

Réponse

Fc = 3029 N
Exemple 2Moyen
r = 50 mvmax​ = ?

Une voiture prend un virage plat de 50 m de rayon. Le coefficient de frottement statique entre les pneus et la route vaut 0,3. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse maximale vmax à laquelle la voiture peut prendre le virage sans déraper.

r = 50 mμs = 0,3g = 9,81 m/s²

Calculer vmax (m/s)

Afficher les indices
  1. Le frottement est la seule force dirigée vers le centre, et il vaut au plus μ·m·g.
  2. Posez m·v²/r = μ·m·g. La masse se simplifie.
  3. v = √(μ·g·r).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.

Le frottement fournit la force centripète

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·50) = 12,13 m/s

Réponse

vmax = 12,13 m/s (43,67 km/h)
Exemple 3Difficile
R = 3,5 mh = 11,9 m

Un chariot de 1 kg est lâché sans vitesse initiale à une hauteur de 11,9 m sur une piste sans frottement et parcourt une boucle verticale de rayon 3,5 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la réaction normale Nbottom de la piste sur le chariot au bas de la boucle.

m = 1 kgh = 11,9 mR = 3,5 mg = 9,81 m/s²

Calculer Nbottom (N)

Afficher les indices
  1. Énergie : en bas, v² = 2g·h.
  2. En bas : N − m·g = m·v²/R.
  3. v² = 233,5 m²/s².
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Vitesse par la conservation de l’énergie

v² = 2·9,81·11,9 = 233,5 m²/s²

Forces

Le sens vers le centre est positif.

N = m·v²/R + m·g = 1·233,5/3,5 + 9,81 = 76,52 N

Réponse

Nbottom = 76,52 N

Questions et réponses

Mouvement circulaire : de quoi s’agit-il ?

Une voiture dans un virage, une pierre au bout d’une ficelle et un satellite autour de la Terre se déplacent tous sur un cercle. Même à vitesse constante, leur direction change sans cesse.

Un changement de direction est un changement de vitesse (vecteur), donc le corps accélère. Cette accélération est dirigée vers le centre du cercle. On l’appelle l’accélération centripète ac.

Mouvement circulaire : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.

Mouvement circulaire : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Élevez la vitesse au carré : a = v²/r.
  • C’est v². Prenez la racine carrée : v = √(μ·g·r).
  • Donnez la vitesse en m/s, pas en km/h.
Mouvement circulaire : que couvrent les exercices ?
  • Facile: force centripète
  • Moyen: frottement dans un virage
  • Difficile: cercle vertical

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

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