Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 40 mm, longueur 400 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en aluminium (diamètre 30 mm, longueur 200 mm, E = 70 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,25 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatronçon 2: aluminium, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 10 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 1 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 200 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton transmet 30 kW à 300 tr/min. La contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 80 MPa et la torsion ne doit pas dépasser 0,25° par m de longueur. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte les deux limites.

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

25 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 3 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 8 mP = 20 kN à 3 mw = 4 kN/m de 0 à 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 20 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 20 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −60 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 20 MPa, σᵧ = 110 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 30° dans le sens horaire par rapport à l’axe x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 2,5 m de l’appui A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 6 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 200 GPa (acier)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 2,5 m de l’appui B. Trouvez la flèche maximale δ_max de la poutre.

P = 24 kNb = 2,5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acier)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Il doit porter 135 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 135 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 44,38 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,25/5,634 × 10⁻⁶ = 44377 N = 44,38 kN

Réponse

P = 44,38 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 88,42 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 14,15 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 88,42 MPa

Réponse

σ_max = 88,42 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 5,261 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(26000·251327) = 0,09182 rad

φ = 0,09182·180/π = 5,261°

Réponse

φ = 5,261°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 86,95 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Diamètre pour la résistance

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·80)) = 39,32 mm

Diamètre pour la rigidité

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 86,95 mm

Diamètre déterminant

Les deux limites doivent être respectées, donc c’est le plus grand diamètre qui est déterminant.

d = max(39,32, 86,95) = 86,95 mm

Réponse

d = 86,95 mm

Ici, c’est la rigidité qui est déterminante.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 27,5 kN, R₂ = 27,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 25, M_C = 45, M_D = 60 kN·m, M_E = 45, M_F = 25, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 60 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 67,5 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3 + 4·8·4

R_B = 188/8 = 23,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 23,5 = 28,5 kN

Couper en x = 3 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 28,5·3 − 4·3·1,5 = 67,5 kN·m

Réponse

M_x = 67,5 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 41,01 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

âme: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·270 + 2080·130)/7280 = 230 mm

Théorème de Huygens

semelle: 260·20³/12 + 5200·(270 − 230)² = 8,493 × 10⁶ mm⁴

âme: 8·260³/12 + 2080·(130 − 230)² = 3,252 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,493 × 10⁶ + 3,252 × 10⁷ = 4,101 × 10⁷ mm⁴ = 41,01 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 41,01 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 14,93 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312,5 mm

âme: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·312,5 + 4800·150)/11300 = 243,5 mm

Théorème de Huygens

semelle: 260·25³/12 + 6500·(312,5 − 243,5)² = 3,131 × 10⁷ mm⁴

âme: 16·300³/12 + 4800·(150 − 243,5)² = 7,794 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,131 × 10⁷ + 7,794 × 10⁷ = 1,092 × 10⁸ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 325 − 243,5 = 81,53 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·81,53/1,092 × 10⁸ = 14,93 MPa

Réponse

σ_haut = 14,93 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 52,2 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((−60 − −30)/2)² + −50²) = 52,2 MPa

Réponse

τ_max = 52,2 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 59,82 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 65 + −45·0,5 + −20·−0,866 = 59,82 MPa

Réponse

σ_θ = 59,82 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 4,136 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 6000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·2500²·1500²/(3·1,7 × 10¹²·4000) = 4,136 mm

Réponse

δ_P = 4,136 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 26,09 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 24000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Position du maximum

En annulant la rotation dans le tronçon le plus long, on obtient la position.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2500²)/3) = 3149 mm

Flèche maximale

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 26,09 mm

Réponse

δ_max = 26,09 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 200,9 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200,9 kN

Réponse

P_cr = 200,9 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 74,83 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 74,83 mm

Réponse

d = 74,83 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 160,4, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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